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Applications linéaires : exercices en vues du devoir - Exercice 2

20 min
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Soit E=R[X]E = \mathbb{R}[X] muni de sa structure usuelle de R\mathbb{R}-espace vectoriel.
On considère l'application
φ:{E⟶EP⟼X2P′′−2XP′+2P\varphi : \left\lbrace \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & E \\ P & \longmapsto & X^2P'' - 2XP' + 2P \\ \end{array} \right.
Question 1

Démontrer que φ\varphi est une application linéaire.

Correction
    Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels et ff une application de EE dans FF.
    L'application ff est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs uu et vv de EE et pour tous scalaires λ\lambda et β\beta de K\mathbb{K}, on a :
    f(λu+βv)=λf(u)+βf(v)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
L’ensemble des applications linéaires de EE dans FF est noté L(E,F)\mathscr{L}\left(E, F\right).
Soient λ\lambda et μ\mu deux réels.
Soient PP et QQ deux polynômes appartenant à R[X]\mathbb{R}\left[X\right] .
φ(λP+μQ)=X2(λP+μQ)′′(X)−2X(λP+μQ)′(X)+2(λP+μQ)(X)\varphi\left(\lambda P+\mu Q\right)=X^2\left(\lambda P+\mu Q\right)''\left(X\right)-2X\left(\lambda P+\mu Q\right)'\left(X\right)+2\left(\lambda P+\mu Q\right)\left(X\right)
φ(λP+μQ)=λX2P′′(X)+μX2Q′′(X)−2λXP′(X)−2μXQ′(X)+2λP(X)+2μQ(X)\varphi\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda X^2P''\left(X\right)+\mu X^2Q''\left(X\right)-2\lambda X P'\left(X\right)-2\mu XQ'\left(X\right)+2\lambda P\left(X\right)+2\mu Q\left(X\right)
φ(λP+μQ)=λ(X2P′′(X)−2XP′(X)+2P(X))+μ(X2Q′′(X)−2XQ′(X)+2Q(X))\varphi\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda\left(X^2P''\left(X\right) - 2XP'\left(X\right) + 2P\left(X\right)\right)+\mu \left(X^2Q''\left(X\right) - 2XQ'\left(X\right) + 2Q\left(X\right)\right)
Ainsi :
φ(λP+μQ)=λφ(P)+μφ(Q)\varphi\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda \varphi\left(P\right)+\mu \varphi\left(Q\right)

Question 2

Déterminer im(φ)\mathrm{im}(\varphi).

Correction
Soit n∈Nn\in \mathbb{N}. On considère B={1 ; X ; X2 ; X3 ; ... ; Xn ; ...}\mathfrak{B} = \left\lbrace 1 \,;\, X \,;\, X^2 \,;\, X^3 \,;\, ... \,;\, X^n \,;\, ... \right\rbrace la base canonique de E=R[X]E = \mathbb{R}[X]. On a alors :
im(φ)=Vect(φ(1) ; φ(X) ; φ(X2) ; φ(X3) ; ... ; φ(Xn) ; ...)\mathrm{im}(\varphi) = \mathrm{Vect}\left( \varphi(1) \,;\, \varphi(X) \,;\, \varphi(X^2) \,;\, \varphi(X^3) \,;\, ... \,;\, \varphi(X^n) \,;\, ... \right)
Or, ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}, on a :
φ(Xn)=X2(Xn)′′−2X(Xn)′+2(Xn)    ⟺    φ(Xn)=n(n−1)X2Xn−2−2nXXn−1+2Xn\varphi(X^n) = X^2(X^n)'' - 2X(X^n)' + 2(X^n) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \varphi(X^n) = n(n-1) X^2 X^{n-2} - 2n X X^{n-1} + 2 X^n
Soit :
φ(Xn)=n(n−1)Xn−2nXn+2Xn    ⟺    φ(Xn)=(n(n−1)−2n+2)Xn\varphi(X^n) = n(n-1) X^n - 2n X^n + 2 X^n \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \varphi(X^n) = \left(n(n-1)-2n +2 \right) X^n
D'où :
φ(Xn)=(n2−3n+2)Xn    ⟺    φ(Xn)=(n−1)(n−2)Xn\varphi(X^n) = \left(n^2 -3n + 2 \right) X^n \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \varphi(X^n) = (n-1) (n-2) X^n
Ainsi, pour k∈Nk \in \mathbb{N}, on a :
φ(Xk)=0    ⟺    (k−1)(k−2)Xk    ⟺    (k−1)(k−2)=0    ⟺    k={1 ; 2}\varphi(X^k) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (k-1) (k-2) X^k \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (k-1) (k-2) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, k = \{1\,;\,2\}
Ce qui implique que :
im(φ)=Vect(1 ; X3 ; X4 ; ... ; Xn ; ...)\mathrm{im}(\varphi) = \mathrm{Vect}\left( 1 \,;\, X^3 \,;\, X^4 \,;\, ... \,;\, X^n \,;\, ... \right)
Question 3

Déterminer ker⁡(φ)\ker (\varphi).

Correction
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X]. C'est à dire que :
P(X)=∑k=0+∞akXkP(X) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k X^k
Donc, on a :
φ(P)=0    ⟺    φ(∑k=0+∞akXk)=0\varphi(P) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \varphi\left( \sum_{k=0}^{+\infty} a_k X^k \right) = 0
Comme φ\varphi est linéaire, on a :
∑k=0+∞akφ(Xk)=0    ⟺    ∑k=0+∞ak(k−1)(k−2)Xk=0    ⟺    ak(k−1)(k−2)=0\sum_{k=0}^{+\infty} a_k \varphi\left( X^k \right) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (k-1) (k-2) X^k = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a_k (k-1) (k-2) = 0
Ce qui implique que si k≠{1 ; 2}k \neq \{1 \,;\, 2\} alors ak=0a_k=0 ; et si k={1 ; 2}k=\{1 \,;\, 2\} alors (a1 ; a2)∈R2(a_1 \,;\, a_2)\in \mathbb{R}^2. Ainsi, on en déduit immédiatement que :
ker⁡(φ)=Vect(X ; X2)\ker (\varphi) = \mathrm{Vect}\left( X \,;\, X^2 \right)

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