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Maths Sup / L1
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Espaces Vectoriels
Applications linéaires : exercices en vues du devoir - Exercice 2
20 min
35
Soit
E
=
R
[
X
]
E = \mathbb{R}[X]
E
=
R
[
X
]
muni de sa structure usuelle de
R
\mathbb{R}
R
-espace vectoriel.
On considère l'application
φ
:
{
E
⟶
E
P
⟼
X
2
P
′
′
−
2
X
P
′
+
2
P
\varphi : \left\lbrace \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & E \\ P & \longmapsto & X^2P'' - 2XP' + 2P \\ \end{array} \right.
φ
:
{
E
P
⟶
⟼
E
X
2
P
′′
−
2
X
P
′
+
2
P
Question 1
Démontrer que
φ
\varphi
φ
est une application linéaire.
Correction
Soient
E
E
E
et
F
F
F
deux
K
\mathbb{K}
K
-espaces vectoriels et
f
f
f
une application de
E
E
E
dans
F
F
F
.
L'application
f
f
f
est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs
u
u
u
et
v
v
v
de
E
E
E
et pour tous scalaires
λ
\lambda
λ
et
β
\beta
β
de
K
\mathbb{K}
K
, on a :
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
L’ensemble des applications linéaires de
E
E
E
dans
F
F
F
est noté
L
(
E
,
F
)
\mathscr{L}\left(E, F\right)
L
(
E
,
F
)
.
Soient
λ
\lambda
λ
et
μ
\mu
μ
deux réels.
Soient
P
P
P
et
Q
Q
Q
deux polynômes appartenant à
R
[
X
]
\mathbb{R}\left[X\right]
R
[
X
]
.
φ
(
λ
P
+
μ
Q
)
=
X
2
(
λ
P
+
μ
Q
)
′
′
(
X
)
−
2
X
(
λ
P
+
μ
Q
)
′
(
X
)
+
2
(
λ
P
+
μ
Q
)
(
X
)
\varphi\left(\lambda P+\mu Q\right)=X^2\left(\lambda P+\mu Q\right)''\left(X\right)-2X\left(\lambda P+\mu Q\right)'\left(X\right)+2\left(\lambda P+\mu Q\right)\left(X\right)
φ
(
λ
P
+
μ
Q
)
=
X
2
(
λ
P
+
μ
Q
)
′′
(
X
)
−
2
X
(
λ
P
+
μ
Q
)
′
(
X
)
+
2
(
λ
P
+
μ
Q
)
(
X
)
φ
(
λ
P
+
μ
Q
)
=
λ
X
2
P
′
′
(
X
)
+
μ
X
2
Q
′
′
(
X
)
−
2
λ
X
P
′
(
X
)
−
2
μ
X
Q
′
(
X
)
+
2
λ
P
(
X
)
+
2
μ
Q
(
X
)
\varphi\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda X^2P''\left(X\right)+\mu X^2Q''\left(X\right)-2\lambda X P'\left(X\right)-2\mu XQ'\left(X\right)+2\lambda P\left(X\right)+2\mu Q\left(X\right)
φ
(
λ
P
+
μ
Q
)
=
λ
X
2
P
′′
(
X
)
+
μ
X
2
Q
′′
(
X
)
−
2
λ
X
P
′
(
X
)
−
2
μ
X
Q
′
(
X
)
+
2
λ
P
(
X
)
+
2
μ
Q
(
X
)
φ
(
λ
P
+
μ
Q
)
=
λ
(
X
2
P
′
′
(
X
)
−
2
X
P
′
(
X
)
+
2
P
(
X
)
)
+
μ
(
X
2
Q
′
′
(
X
)
−
2
X
Q
′
(
X
)
+
2
Q
(
X
)
)
\varphi\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda\left(X^2P''\left(X\right) - 2XP'\left(X\right) + 2P\left(X\right)\right)+\mu \left(X^2Q''\left(X\right) - 2XQ'\left(X\right) + 2Q\left(X\right)\right)
φ
(
λ
P
+
μ
Q
)
=
λ
(
X
2
P
′′
(
X
)
−
2
X
P
′
(
X
)
+
2
P
(
X
)
)
+
μ
(
X
2
Q
′′
(
X
)
−
2
X
Q
′
(
X
)
+
2
Q
(
X
)
)
Ainsi :
φ
(
λ
P
+
μ
Q
)
=
λ
φ
(
P
)
+
μ
φ
(
Q
)
\varphi\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda \varphi\left(P\right)+\mu \varphi\left(Q\right)
φ
(
λ
P
+
μ
Q
)
=
λ
φ
(
P
)
+
μ
φ
(
Q
)
Question 2
Déterminer
i
m
(
φ
)
\mathrm{im}(\varphi)
im
(
φ
)
.
Correction
Soit
n
∈
N
n\in \mathbb{N}
n
∈
N
. On considère
B
=
{
1
;
X
;
X
2
;
X
3
;
.
.
.
;
X
n
;
.
.
.
}
\mathfrak{B} = \left\lbrace 1 \,;\, X \,;\, X^2 \,;\, X^3 \,;\, ... \,;\, X^n \,;\, ... \right\rbrace
B
=
{
1
;
X
;
X
2
;
X
3
;
...
;
X
n
;
...
}
la base canonique de
E
=
R
[
X
]
E = \mathbb{R}[X]
E
=
R
[
X
]
. On a alors :
i
m
(
φ
)
=
V
e
c
t
(
φ
(
1
)
;
φ
(
X
)
;
φ
(
X
2
)
;
φ
(
X
3
)
;
.
.
.
;
φ
(
X
n
)
;
.
.
.
)
\mathrm{im}(\varphi) = \mathrm{Vect}\left( \varphi(1) \,;\, \varphi(X) \,;\, \varphi(X^2) \,;\, \varphi(X^3) \,;\, ... \,;\, \varphi(X^n) \,;\, ... \right)
im
(
φ
)
=
Vect
(
φ
(
1
)
;
φ
(
X
)
;
φ
(
X
2
)
;
φ
(
X
3
)
;
...
;
φ
(
X
n
)
;
...
)
Or,
∀
n
∈
N
\forall n \in \mathbb{N}
∀
n
∈
N
, on a :
φ
(
X
n
)
=
X
2
(
X
n
)
′
′
−
2
X
(
X
n
)
′
+
2
(
X
n
)
⟺
φ
(
X
n
)
=
n
(
n
−
1
)
X
2
X
n
−
2
−
2
n
X
X
n
−
1
+
2
X
n
\varphi(X^n) = X^2(X^n)'' - 2X(X^n)' + 2(X^n) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \varphi(X^n) = n(n-1) X^2 X^{n-2} - 2n X X^{n-1} + 2 X^n
φ
(
X
n
)
=
X
2
(
X
n
)
′′
−
2
X
(
X
n
)
′
+
2
(
X
n
)
⟺
φ
(
X
n
)
=
n
(
n
−
1
)
X
2
X
n
−
2
−
2
n
X
X
n
−
1
+
2
X
n
Soit :
φ
(
X
n
)
=
n
(
n
−
1
)
X
n
−
2
n
X
n
+
2
X
n
⟺
φ
(
X
n
)
=
(
n
(
n
−
1
)
−
2
n
+
2
)
X
n
\varphi(X^n) = n(n-1) X^n - 2n X^n + 2 X^n \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \varphi(X^n) = \left(n(n-1)-2n +2 \right) X^n
φ
(
X
n
)
=
n
(
n
−
1
)
X
n
−
2
n
X
n
+
2
X
n
⟺
φ
(
X
n
)
=
(
n
(
n
−
1
)
−
2
n
+
2
)
X
n
D'où :
φ
(
X
n
)
=
(
n
2
−
3
n
+
2
)
X
n
⟺
φ
(
X
n
)
=
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
X
n
\varphi(X^n) = \left(n^2 -3n + 2 \right) X^n \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \varphi(X^n) = (n-1) (n-2) X^n
φ
(
X
n
)
=
(
n
2
−
3
n
+
2
)
X
n
⟺
φ
(
X
n
)
=
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
X
n
Ainsi, pour
k
∈
N
k \in \mathbb{N}
k
∈
N
, on a :
φ
(
X
k
)
=
0
⟺
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
X
k
⟺
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
=
0
⟺
k
=
{
1
;
2
}
\varphi(X^k) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (k-1) (k-2) X^k \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (k-1) (k-2) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, k = \{1\,;\,2\}
φ
(
X
k
)
=
0
⟺
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
X
k
⟺
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
=
0
⟺
k
=
{
1
;
2
}
Ce qui implique que :
i
m
(
φ
)
=
V
e
c
t
(
1
;
X
3
;
X
4
;
.
.
.
;
X
n
;
.
.
.
)
\mathrm{im}(\varphi) = \mathrm{Vect}\left( 1 \,;\, X^3 \,;\, X^4 \,;\, ... \,;\, X^n \,;\, ... \right)
im
(
φ
)
=
Vect
(
1
;
X
3
;
X
4
;
...
;
X
n
;
...
)
Question 3
Déterminer
ker
(
φ
)
\ker (\varphi)
ker
(
φ
)
.
Correction
Soit
P
∈
R
[
X
]
P \in \mathbb{R}[X]
P
∈
R
[
X
]
. C'est à dire que :
P
(
X
)
=
∑
k
=
0
+
∞
a
k
X
k
P(X) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k X^k
P
(
X
)
=
k
=
0
∑
+
∞
a
k
X
k
Donc, on a :
φ
(
P
)
=
0
⟺
φ
(
∑
k
=
0
+
∞
a
k
X
k
)
=
0
\varphi(P) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \varphi\left( \sum_{k=0}^{+\infty} a_k X^k \right) = 0
φ
(
P
)
=
0
⟺
φ
(
k
=
0
∑
+
∞
a
k
X
k
)
=
0
Comme
φ
\varphi
φ
est linéaire, on a :
∑
k
=
0
+
∞
a
k
φ
(
X
k
)
=
0
⟺
∑
k
=
0
+
∞
a
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
X
k
=
0
⟺
a
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
=
0
\sum_{k=0}^{+\infty} a_k \varphi\left( X^k \right) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (k-1) (k-2) X^k = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a_k (k-1) (k-2) = 0
k
=
0
∑
+
∞
a
k
φ
(
X
k
)
=
0
⟺
k
=
0
∑
+
∞
a
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
X
k
=
0
⟺
a
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
=
0
Ce qui implique que si
k
≠
{
1
;
2
}
k \neq \{1 \,;\, 2\}
k
=
{
1
;
2
}
alors
a
k
=
0
a_k=0
a
k
=
0
; et si
k
=
{
1
;
2
}
k=\{1 \,;\, 2\}
k
=
{
1
;
2
}
alors
(
a
1
;
a
2
)
∈
R
2
(a_1 \,;\, a_2)\in \mathbb{R}^2
(
a
1
;
a
2
)
∈
R
2
. Ainsi, on en déduit immédiatement que :
ker
(
φ
)
=
V
e
c
t
(
X
;
X
2
)
\ker (\varphi) = \mathrm{Vect}\left( X \,;\, X^2 \right)
ker
(
φ
)
=
Vect
(
X
;
X
2
)