Un homicide - Exercice 1

L'équation différentielle qui gouverne l'évolution temporelle de la température du corps est donnée par $${\color{blue}{\textit{la loi de Newton}}}$$. On a alors l'équation suivante :
On a :
$$\dfrac{d \, T}{dt}(t) = K (T(t) - T_{ext}) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{d \, T}{dt}(t) = K (T(t) + 5) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{d \, T}{dt}(t) - K T(t) = 5 K$$
Dans cette équation, $$K$$ est une constante réelle strictement négative. La solution homogène est, avec $$A \in \mathbb{R}$$ :
$$T_H(t) = A \, e^{-\frac{-K}{1}t} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, T_H(t) = A \, e^{K t}$$
Puis la solution particulière est :
$$T_P(t) = - 5$$
La solution mathématique globale de l'EDO est alors :
$$T(t) = T_H(t) + T_P(t) = A \, e^{K t} - 5$$
Prenons comme origine des temps, l'instant de la découverte du cadavre. On a alors la condition :
$$T(t=0) = 20 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A \, e^{K 0} - 5 = 20 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A \times 1 - 5 = 20 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A = 25$$
Donc on a alors :
$$T(t) = 25 \, e^{K t} - 5$$
De plus, on sait qu'au bout de trente minutes la température du corps est de $$15\,^\circ C$$. Donc on en déduit que :
$$T(t=30) = 25 \, e^{K 30} - 5 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,<br />15 = 25 \, e^{30K} - 5 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 20 = 25 \, e^{30K}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{20}{25} = e^{30K} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \ln \left(\dfrac{4}{5}\right) = 30K \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, K = \dfrac{\ln \left(\dfrac{4}{5}\right)}{30}$$
Finalement, la loi de température est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{T(t) = 25 \, e^{\frac{\ln\left(\frac{4}{5}\right)}{30} t} - 5}}}$$
Enfin, pour estimer l'heure de la mort $$t_m$$, il suffit de se souvenir que la température corporelle normale est de $$37 \, ^\circ C$$. Ainsi, on a :
$$37 = 25 \, e^{\frac{\ln\left(\frac{4}{5}\right)}{30} t_m} - 5 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 42 = 25 \, e^{\frac{\ln\left(\frac{4}{5}\right)}{30} t_m} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{42}{25} = e^{\frac{\ln\left(\frac{4}{5}\right)}{30} t_m}$$
Soit :
$$\ln\left(\dfrac{42}{25} \right) = \dfrac{\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)}{30} t_m$$
Ainsi, on trouve que :
$$t_m = 30 \dfrac{\ln\left(\dfrac{42}{25} \right)}{\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)} \simeq -70 \,\, min$$
Finalement, l'heure du décès est très voisine de $${\color{red}{\boxed{\textbf{1H10 du matin}}}}$$. Graphiquement, cela nous donne :