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Les équations différentielles linéaires du 2ème ordre à coefficients constants sans second membre - Exercice 1

20 min
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Chercher sur I=RI=\mathbb{R}, les solutions des équations différentielles suivantes :
Question 1

(E0):y′′+4y′−5y=0\left(E_0\right) :y''+4y'-5y=0

Correction
Soit l'équation différentielle (E0):ay′′+by′+cy=0\left(E_0\right) :ay''+by'+cy=0 où a,ba,b et cc sont des constantes réelles (a≠0)\left(a\ne0\right) .
Soit ar2+br+c=0ar^2+br+c=0 l'équation caractéristique associée à (E0)\left(E_0\right) et notons Δ=b2−4ac\Delta =b^2-4ac   \;son discriminant .
Si Δ>0\red{\Delta>0} alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r1r_1 et r2r_2 .
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=C1er1x+C2er2xy_0\left(x\right)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de (E0)\left(E_0\right) .
On a donc : r2+4r−5=0r^2+4r-5=0. On obtient : Δ>0\Delta>0 ; r1=1r_1=1 et r2=−5r_2=-5.
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=C1ex+C2e−5xy_0\left(x\right)=C_1e^{x}+C_2e^{-5x}
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Question 2

(E0):2y′′+y′+3y=0\left(E_0\right) :2y''+y'+3y=0

Correction
Soit l'équation différentielle (E0):ay′′+by′+cy=0\left(E_0\right) :ay''+by'+cy=0 où a,ba,b et cc sont des constantes réelles (a≠0)\left(a\ne0\right) .
Soit ar2+br+c=0ar^2+br+c=0 l'équation caractéristique associée à (E0)\left(E_0\right) et notons Δ=b2−4ac\Delta =b^2-4ac   \;son discriminant .
Si Δ<0\red{\Delta<0} alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées λ1=α+iβ\lambda_1=\alpha+\text{i}\beta et λ2=α−iβ\lambda_2=\alpha-\text{i}\beta .
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=eαx(C1cos⁡(βx)+C2sin⁡(βx))y_0\left(x\right)=e^{\alpha x}\left(C_1\cos\left(\beta x\right)+C_2\sin\left(\beta x\right)\right)
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de (E0)\left(E_0\right) .
On a donc : 2r2+r+3=02r^2+r+3=0. On obtient : Δ<0\Delta<0 ; λ1=−14+i234{\lambda }_1=-\frac{1}{4}+\text{i}\frac{\sqrt{23}}{4} et λ2=−14−i234{\lambda }_2=-\frac{1}{4}-\text{i}\frac{\sqrt{23}}{4}.
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=e−14x(C1cos⁡(234x)+C2sin⁡(234x))y_0\left(x\right)=e^{-\frac{1}{4} x}\left(C_1\cos\left(\frac{\sqrt{23}}{4} x\right)+C_2\sin\left(\frac{\sqrt{23}}{4} x\right)\right)
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Question 3

(E0):y′′−6y′+9y=0\left(E_0\right) :y''-6y'+9y=0

Correction
Soit l'équation différentielle (E0):ay′′+by′+cy=0\left(E_0\right) :ay''+by'+cy=0 où a,ba,b et cc sont des constantes réelles (a≠0)\left(a\ne0\right) .
Soit ar2+br+c=0ar^2+br+c=0 l'équation caractéristique associée à (E0)\left(E_0\right) et notons Δ=b2−4ac\Delta =b^2-4ac   \;son discriminant .
Si Δ=0\red{\Delta=0} alors l'équation caractéristique admet une racine double r0r_0 .
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=(C1+C2x)er0xy_0\left(x\right)=\left(C_1+C_2x\right)e^{r_0x}
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de (E0)\left(E_0\right) .
On a donc : r2−6r+9=0r^2-6r+9=0. On obtient : Δ=0\Delta=0 et r0=3r_0=3 .
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=(C1+C2x)e3xy_0\left(x\right)=\left(C_1+C_2x\right)e^{3x}
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Question 4

(E0):y′′−9y=0\left(E_0\right) :y''-9y=0

Correction
Soit l'équation différentielle (E0):ay′′+by′+cy=0\left(E_0\right) :ay''+by'+cy=0 où a,ba,b et cc sont des constantes réelles (a≠0)\left(a\ne0\right) .
Soit ar2+br+c=0ar^2+br+c=0 l'équation caractéristique associée à (E0)\left(E_0\right) et notons Δ=b2−4ac\Delta =b^2-4ac   \;son discriminant .
Si Δ>0\red{\Delta>0} alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r1r_1 et r2r_2 .
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=C1er1x+C2er2xy_0\left(x\right)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de (E0)\left(E_0\right) .
On a donc : r2−9=0r^2-9=0. On obtient : Δ>0\Delta>0 ; r1=3r_1=3 et r2=−3r_2=-3.
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=C1e3x+C2e−3xy_0\left(x\right)=C_1e^{3x}+C_2e^{-3x}
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Question 5

(E0):y′′+y=0\left(E_0\right) :y''+y=0

Correction
Soit l'équation différentielle (E0):ay′′+by′+cy=0\left(E_0\right) :ay''+by'+cy=0 où a,ba,b et cc sont des constantes réelles (a≠0)\left(a\ne0\right) .
Soit ar2+br+c=0ar^2+br+c=0 l'équation caractéristique associée à (E0)\left(E_0\right) et notons Δ=b2−4ac\Delta =b^2-4ac   \;son discriminant .
Si Δ<0\red{\Delta<0} alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées λ1=α+iβ\lambda_1=\alpha+\text{i}\beta et λ2=α−iβ\lambda_2=\alpha-\text{i}\beta .
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=eαx(C1cos⁡(βx)+C2sin⁡(βx))y_0\left(x\right)=e^{\alpha x}\left(C_1\cos\left(\beta x\right)+C_2\sin\left(\beta x\right)\right)
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de (E0)\left(E_0\right) .
On a donc : r2+1=0r^2+1=0. On obtient : Δ<0\Delta<0 ; λ1=i{\lambda }_1=i et λ2=−i{\lambda }_2=-i.
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=e0x(C1cos⁡(1x)+C2sin⁡(1x))y_0\left(x\right)=e^{0x}\left(C_1\cos\left(1 x\right)+C_2\sin\left(1 x\right)\right)
y0(x)=C1cos⁡(x)+C2sin⁡(x)y_0\left(x\right)=C_1\cos\left( x\right)+C_2\sin\left(x\right)
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Question 6

(E0):y′′+2y′+y=0\left(E_0\right) :y''+2y'+y=0

Correction
Soit l'équation différentielle (E0):ay′′+by′+cy=0\left(E_0\right) :ay''+by'+cy=0 où a,ba,b et cc sont des constantes réelles (a≠0)\left(a\ne0\right) .
Soit ar2+br+c=0ar^2+br+c=0 l'équation caractéristique associée à (E0)\left(E_0\right) et notons Δ=b2−4ac\Delta =b^2-4ac   \;son discriminant .
Si Δ=0\red{\Delta=0} alors l'équation caractéristique admet une racine double r0r_0 .
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=(C1+C2x)er0xy_0\left(x\right)=\left(C_1+C_2x\right)e^{r_0x}
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de (E0)\left(E_0\right) .
On a donc : r2+2r+1=0r^2+2r+1=0. On obtient : Δ=0\Delta=0 et r0=−1r_0=-1 .
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=(C1+C2x)e−xy_0\left(x\right)=\left(C_1+C_2x\right)e^{-x}
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Question 7

(E0):y′′+ω2y=0\left(E_0\right) :y''+\omega^2y=0

Correction
Soit l'équation différentielle (E0):ay′′+by′+cy=0\left(E_0\right) :ay''+by'+cy=0 où a,ba,b et cc sont des constantes réelles (a≠0)\left(a\ne0\right) .
Soit ar2+br+c=0ar^2+br+c=0 l'équation caractéristique associée à (E0)\left(E_0\right) et notons Δ=b2−4ac\Delta =b^2-4ac   \;son discriminant .
Si Δ<0\red{\Delta<0} alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées λ1=α+iβ\lambda_1=\alpha+\text{i}\beta et λ2=α−iβ\lambda_2=\alpha-\text{i}\beta .
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=eαx(C1cos⁡(βx)+C2sin⁡(βx))y_0\left(x\right)=e^{\alpha x}\left(C_1\cos\left(\beta x\right)+C_2\sin\left(\beta x\right)\right)
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de (E0)\left(E_0\right) .
On a donc : r2+ω2=0r^2+\omega^2=0. On obtient : Δ<0\Delta<0 ; λ1=iω{\lambda }_1=i\omega et λ2=−iω{\lambda }_2=-i\omega.
L'ensemble des solutions réelles de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme :
y0(x)=e0x(C1cos⁡(ωx)+C2sin⁡(ωx))y_0\left(x\right)=e^{0x}\left(C_1\cos\left(\omega x\right)+C_2\sin\left(\omega x\right)\right)
y0(x)=C1cos⁡(ωx)+C2sin⁡(ωx)y_0\left(x\right)=C_1\cos\left( \omega x\right)+C_2\sin\left(\omega x\right)
où C1C_1 et C2C_2 sont des constantes réelles quelconques.