Les équations différentielles linéaires du 2ème ordre à coefficients constants avec un second membre de la forme $$t\mapsto P\left(t\right)e^{mt}$$ - Exercice 1

Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
On note $$\left(E_0\right) :y''+5y'-6y=0$$
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de $$\left(E_0\right)$$ .
On a donc : $$r^2+5r-6=0$$. On obtient : $$\Delta>0$$ ; $$r_1=1$$ et $$r_2=-6$$.
L'ensemble des solutions réelles de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme :
où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre $$t\mapsto 4e^{2t}$$ est de la forme $$P\left(t\right)e^{mt}$$ avec $$\deg\left(P\right)=0$$ et $$m=2$$ .
Or $$m=2$$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique .
On cherche alors une solution particulière de la forme $$y_1\left(t\right)=Q\left(t\right)e^{mt}$$ où $$\deg\left(Q\right)=\deg\left(P\right)$$ .
Autrement dit : $$y_1\left(t\right)=Ae^{2t}$$ où $$A\in \mathbb{R}$$
Il vient alors que $$y_{1}^{'} \left(t\right)=2Ae^{2t}$$ et $$y_{1}^{''} \left(t\right)=4Ae^{2t}$$
$$y_{1}^{''} \left(t\right)+5y_{1}^{'} \left(t\right)-6y_1\left(t\right)=4e^{2t}$$ équivaut successivement à :
$$4Ae^{2t}+5\times2Ae^{2t}-6Ae^{2t}=4e^{2t}$$
$$4A+10A-6A=4$$
$$8A=4$$
$$A=\frac{4}{8}$$
Ainsi : $$A=\frac{1}{2}$$
Une solution particulière de $$\left(E\right)$$ est alors $$y_1\left(t\right)=\frac{1}{2}e^{2t}$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme :
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$
Finalement : où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.

Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
On note $$\left(E_0\right) :y''-y=0$$
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de $$\left(E_0\right)$$ .
On a donc : $$r^2-1=0$$. On obtient : $$\Delta>0$$ ; $$r_1=1$$ et $$r_2=-1$$.
L'ensemble des solutions réelles de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme :
où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre $$t\mapsto 3e^{t}$$ est de la forme $$P\left(t\right)e^{mt}$$ avec $$\deg\left(P\right)=0$$ et $$m=1$$ .
Or $$m=1$$ est une racine simple de l'équation caractéristique .
On cherche alors une solution particulière de la forme $$y_1\left(t\right)=Q\left(t\right)e^{mt}$$ où $$\deg\left(Q\right)=\deg\left(P\right)+1$$ .
Autrement dit : $$y_1\left(t\right)=Ate^{t}$$ où $$A\in \mathbb{R}$$
Il vient alors que $$y_{1}^{'} \left(t\right)=\left(A+At\right)e^{t}$$ et $$y_{1}^{''} \left(t\right)=\left(2A+At\right)e^{t}$$
$$y_{1}^{''} \left(t\right)-y_1\left(t\right)=3e^{t}$$ équivaut successivement à :
$$\left(2A+At\right)e^{t}-Ate^{t}=3e^{t}$$
$$2A+At-At=3$$
$$2A=3$$
Ainsi : $$A=\frac{3}{2}$$
Une solution particulière de $$\left(E\right)$$ est alors $$y_1\left(t\right)=\frac{3}{2}te^{t}$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme :
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$
Finalement : où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.

Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
On note $$\left(E_0\right) : y''+y=te^{t}$$
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de $$\left(E_0\right)$$ .
On a donc : $$r^2+1=0$$. On obtient : $$\Delta<0$$ ; $${\lambda }_1=i$$ et $${\lambda }_2=-i$$.
L'ensemble des solutions réelles de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme :
$$y_0\left(x\right)=e^{0x}\left(C_1\cos\left(1 x\right)+C_2\sin\left(1 x\right)\right)$$
où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre $$t\mapsto te^{t}$$ est de la forme $$P\left(t\right)e^{mt}$$ avec $$\deg\left(P\right)=1$$ et $$m=1$$ .
Or $$m=1$$ n'est une pas une racine de l'équation caractéristique .
On cherche alors une solution particulière de la forme $$y_1\left(t\right)=Q\left(t\right)e^{mt}$$ où $$\deg\left(Q\right)=\deg\left(P\right)$$ .
Autrement dit : $$y_1\left(t\right)=\left(At+B\right)e^{t}$$ où $$\left(A,B\right)\in \mathbb{R}^2$$
Il vient alors que $$y_{1}^{'} \left(t\right)=\left(At+A+B\right)e^{t}$$ et $$y_{1}^{''} \left(t\right)=\left(At+2A+B\right)e^{t}$$
$$y_{1}^{''} \left(t\right)+y_1\left(t\right)=te^{t}$$ équivaut successivement à :
$$\left(At+2A+B\right)e^{t}+\left(At+B\right)e^{t}=te^{t}$$
$$At+2A+B+At+B=t$$
$$2At+2A+2B=t$$
Il vient alors que :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}2A & = & 1 \\ 2A+2B & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{1}{2} \\ B & = & -\frac{1}{2} \end{array}\right.$$
Une solution particulière de $$\left(E\right)$$ est alors $$y_1\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\right)e^{t}$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme :
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$
Finalement : où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.