La méthode de la variation de la constante (5) - Exercice 1

L'équation différentielle $$(E)$$ est de la forme :
$$a(x) \, y'(x) + b(x) \, y(x) = s(x)$$
Avec $$a(x) = 1+x$$, $$b(x) = x$$ et $$s(x) = \left( 1+x \right)^2$$.
On a donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} a(x) & = & 1 + x \\ b(x) & = & x \end{array} \right. \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \dfrac{b(x)}{a(x)} = \dfrac{x}{1 + x} = \dfrac{x + 1 - 1}{1 + x} = \dfrac{x + 1}{1 + x} - \dfrac{1}{1 + x} = 1 - \dfrac{1}{1 + x}$$
D'où :
$$F(x) = \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx = \int \left(1 - \dfrac{1}{1 + x} \right) \, dx = x - \ln (1 + x)$$
Donc :
$$- F(x) = - x + \ln (1 + x)$$
Dès lors, on en déduit que :
$$e^{- F(x)} = e^{-x + \ln (1 + x)} = e^{-x}\, e^{\ln (1 + x)} = e^{-x} \, (1 + x)$$
La solution homogène est donc donnée par :
$$y_h(x) = C \, e^{- F(x)}$$
Soit pour nous :
$${\color{ForestGreen}{\boxed{y_h(x) = C e^{-x} \, (1 + x)}}}$$
En ce qui concerne la solution particulière $$y_p$$ de cette équation différentielle, nous allons poser la forme suivante afin de faire "$$varier \,\, la \,\, constante$$" :
$$y_p(x) = C(x) e^{-x} \, (1 + x)$$
Par dérivation, on peut écrire que :
$$y'_p(x) = C'(x) e^{-x} \, (1 + x) - C(x) e^{-x} \, (1 + x) + C(x) e^{-x}$$
Donc l'équation différentielle initiale prend la forme suivante :
$$(1+x) \, y_p'(x) + x \, y_p(x) = (1+x)^2$$
Soit :
$$(1+x) \left( C'(x) e^{-x} \, (1 + x) - C(x) e^{-x} \, (1 + x) + C(x) e^{-x} \right) + x \, C(x) e^{-x} \, (1 + x) = (1+x)^2$$
D'où :
$$C'(x) e^{-x} \, (1 + x) - C(x) e^{-x} \, (1 + x) + C(x) e^{-x} + x \, C(x) e^{-x} = (1+x)$$
Soit encore :
$$C'(x) e^{-x} \, (1 + x) - C(x) e^{-x} \, (1 + x) + (1 + x ) C(x) \, e^{-x} = (1+x)$$
En simplifiant :
$$C'(x) e^{-x} \, (1 + x) = (1+x)$$
Mais aussi :
$$C'(x) e^{-x} = 1$$
Ce qui nous donne :
$$C'(x) = \dfrac{1}{e^{-x}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, C'(x) = e^x$$
Donc :
$$C(x) = e^x + K \,\,\,\, (K \in \mathbb{R})$$
Ce qui nous donne :
$$y_p(x) = (e^x + K) e^{-x} \, (1 + x) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, y_p(x) = e^x e^{-x} \, (1 + x) + K e^{-x} \, (1 + x)$$
On obtient alors :
$$y_p(x) = e^0 \, (1 + x) + K e^{-x} \, (1 + x)$$
Finalement :
$${\color{ForestGreen}{\boxed{y_p(x) = 1 + x + K e^{-x} \, (1 + x)}}}$$
Donc la solution globale $$y$$ est donnée par la somme $$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$ :
$$y(x) = C e^{-x} \, (1 + x) + 1 + x + K e^{-x} \, (1 + x)$$
En factorisant :
$$y(x) = (C + K) \, e^{-x} \, (1 + x) + 1 + x$$
Ce qui nous donne :
$$y(x) = \left( (C + K) \, e^{-x} + 1 \right)\,(1 + x)$$
On pose $$\mathcal{K} = C + K \in \mathbb{R}$$. Finalement :
$${\color{red}{\boxed{y(x) = \left( \mathcal{K} \, e^{-x} + 1 \right)\,(1 + x)}}}$$

Si $$x=0$$ alors on a $$y(0) = \left( \mathcal{K} \, e^{-0} + 1 \right)\,(1 + 0)$$. Ce qui nous donne $$y(0) = \mathcal{K} + 1$$. Ainsi la condition initiale nous donne l'égalité suivante :
$$\mathcal{K} + 1 = 0$$.
Soit :
$$\mathcal{K} = -1$$
Et de fait, la solution recherchée est donnée par :
$$y(x) = \left( - e^{-x} + 1 \right)\,(1 + x)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{y(x) = \left( 1-e^{-x} \right)\,(1 + x)}}}$$
Graphiquement, cela nous donne :