La méthode de la variation de la constante - Exercice 1

On a donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} a(x) & = & 1 + x^2 \\ b(x) & = & x \end{array} \right. \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \dfrac{b(x)}{a(x)} = \dfrac{x}{1 + x^2} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2x} {1 + x^2}$$
D'où :
$$F(x) = \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2x} {1 + x^2} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln (1 + x^2) = \ln (\sqrt{1 + x^2})$$
Donc :
$$- F(x) = - \ln (\sqrt{1 + x^2}) = \ln \left( \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \right)$$
Dès lors, on en déduit que :
$$e^{- F(x)} = e^{\displaystyle{\ln \left( \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \right)}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$$
La solution homogène est donc donnée par :
$$y_h(x) = C \, e^{- F(x)}$$
Soit pour nous :
$${\color{blue}{\boxed{y_h(x) = \dfrac{C}{\sqrt{1 + x^2}}} }}$$
En ce qui concerne la solution particulière $$y_p$$ de cette équation différentielle, nous allons poser la forme suivante afin de faire $${\color{red}{\textbf{varier la constante}}}$$ :
$$y_p(x) = \dfrac{C(x)}{\sqrt{1 + x^2}}$$
Par dérivation, on peut écrire que :
$$y'_p(x) = \dfrac{C'(x)\sqrt{1 + x^2} - C(x)(\sqrt{1 + x^2})'}{1 + x^2}$$
Soit encore :
$$y'_p(x) = \dfrac{C'(x)\sqrt{1 + x^2} - C(x)\dfrac{2x}{2\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} = \dfrac{C'(x)\sqrt{1 + x^2} - C(x)\dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2}$$
Ce qui nous donne encore :
$$y'_p(x) = \dfrac{C'(x) \dfrac{1 + x^2}{\sqrt{1 + x^2}} - C(x)\dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2}$$
Donc, on trouve que :
$$y'_p(x) = \dfrac{C'(x)(1+x^2) - xC(x)}{(1 + x^2)\sqrt{1 + x^2}}$$
L'équation différentielle linéaire du premier ordre considérée prend donc la forme suivante :
$$(1+x^2) \, \dfrac{C'(x)(1+x^2) - xC(x)}{(1 + x^2)\sqrt{1 + x^2}} + x \, \dfrac{C(x)}{\sqrt{1 + x^2}} = x$$
En simplifiant, on trouve que :
$$\dfrac{C'(x)(1+x^2) - xC(x)}{\sqrt{1 + x^2}} + x \, \dfrac{C(x)}{\sqrt{1 + x^2}} = x \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{C'(x)(1+x^2) - xC(x) + xC(x)}{\sqrt{1 + x^2}} = x$$
Soit encore :
$$\dfrac{C'(x)(1+x^2)}{\sqrt{1 + x^2}} = x \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C'(x)\sqrt{1 + x^2}=x \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$$
Ce qui peut encore s'écrire :
$$C'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{1 + x^2}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C'(x) = \dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1 + x^2}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C'(x) = (\sqrt{1 + x^2})'$$
Donc, en en déduit immédiatement que :
$$C(x) = \sqrt{1 + x^2}$$
Donc, on a :
$$y_p(x) = \dfrac{\sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}}$$
Finalement :
$${\color{blue}{\boxed{y_p(x) = 1}}}$$
La solution globale $$y$$ est donc la somme de la solution homogène $$y_h$$ et de la solution particulière trouvée $$y_p$$, à savoir :
$${\color{red}{\boxed{y(x) = \dfrac{C}{\sqrt{1 + x^2}} + 1 \,\,\,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R})}}}$$

On a donc :

$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} a(x) & = & 2x \\ b(x) & = & -3 \end{array} \right. \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \dfrac{b(x)}{a(x)} = \dfrac{-3}{2x} = -\dfrac{3}{2} \times \dfrac{1} {x}$$
D'où :
$$F(x) = \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx = -\dfrac{3}{2} \int \dfrac{1} {x} \, dx = -\dfrac{3}{2} \ln (x) = -\ln (x^{\frac{3}{2}})$$
Donc :
$$- F(x) = \ln (x^{\frac{3}{2}})$$
Dès lors, on en déduit que :
$$e^{- F(x)} = e^{\displaystyle{\ln (x^{\frac{3}{2}}) }} = x^{\frac{3}{2}}$$
La solution homogène est donc donnée par :
$$y_h(x) = C \, e^{- F(x)}$$
Soit pour nous :
$${\color{blue}{\boxed{y_h(x) = C x^{\frac{3}{2}} }}}$$
En ce qui concerne la solution particulière $$y_p$$ de cette équation différentielle, nous allons poser la forme suivante afin de faire $${\color{red}{\textbf{varier la constante}}}$$ :
$$y_p(x) = C(x) \, x^{\frac{3}{2}}$$
Par dérivation, on peut écrire que :
$$y'_p(x) = C'(x) \, x^{\frac{3}{2}} + C(x) \, \dfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$$
L'équation différentielle linéaire du premier ordre considérée prend donc la forme suivante :
$$2x \, \left[ C'(x) \, x^{\frac{3}{2}} + C(x) \, \dfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \right] - 3 \, C(x) \, x^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{x}$$
Soit encore :
$$2x \, \left[ C'(x) \, x\sqrt{x} + C(x) \, \dfrac{3}{2} \sqrt{x} \right] - 3 \, C(x) \, x\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$$
En développant, on obtient :
$$2 C'(x) \, x^2 \sqrt{x} + 3 C(x) \, x \sqrt{x} - 3 \, C(x) \, x\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$$
En simplifiant, on trouve que :
$$2 C'(x) \, x^2 \sqrt{x} = 2\sqrt{x}$$
Or, si $$x >0$$ alors il est possible de simplifier par $$2\sqrt{x}$$. Sous cette condition de $$x >0$$, on trouve que :
$$C'(x) \, x^2 = 1$$
D'où :
$$C'(x) = \dfrac{1}{x^2}$$
En intégrant, on trouve que :
$$C(x) = - \dfrac{1}{x}$$
Donc, on a :
$$y_p(x) = - \dfrac{1}{x} x^{\frac{3}{2}}$$
Finalement :
$${\color{blue}{\boxed{y_p(x) = - \sqrt{x}}}}$$
La solution globale $$y$$ est donc la somme de la solution homogène $$y_h$$ et de la solution particulière trouvée $$y_p$$, à savoir :
$$y(x) = C x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} \,\,\,\,\,\,\, C \in \mathbb{R}$$
Soit encore :
$$y(x) = C x\sqrt{x} - \sqrt{x} \,\,\,\,\,\,\, C \in \mathbb{R}$$
Finalement, on obtient la solution globale suivante :
$${\color{blue}{\boxed{y(x) = (Cx - 1) \sqrt{x} \,\,\,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R}) }}}$$
La condition particulière $$y(1) = 1$$ s'écrit :
$$1 = (C\times 1 - 1) \sqrt{1} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, 1 = C - 1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, 2 = C$$
$${\color{blue}{\textbf{La solution}}}$$ satisfaisant à la condition particulière est donc :
$${\color{red}{\boxed{y(x) = (2x - 1) \sqrt{x} \,\,\,\,\,\,\, (x>0)}}}$$
Graphiquement, cette solution est :