Histoire de cuisine - Exercice 1

L'équation différentielle qui gouverne l'évolution temporelle de la température du gâteau est donnée par $${\color{blue}{\textit{la loi de Newton}}}$$. On a alors :
$$\dfrac{d \, T}{dt}(t) = K (T(t) - T_{ext}) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\dfrac{d \, T}{dt}(t) - K T(t) = K T_{ext}$$
Dans cette équation, $$K$$ est une constante réelle strictement négative. La solution homogène est, avec $$A \in \mathbb{R}$$ :
$$T_H(t) = A \, e^{-\frac{-K}{1}t} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, T_H(t) = A \, e^{K t}$$
Puis la solution particulière est :
$$T_P(t) = T_{ext}$$
La solution mathématique globale de l'EDO est alors :
$$T(t) = T_H(t) + T_P(t) = A \, e^{K t} + T_{ext}$$
Prenons comme origine des temps, 17H00, l'heure de sortie du four. On a alors :
$$T(t=0) = 100 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A \, e^{K 0} + T_{ext} = 100 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A + T_{ext} = 100 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A = 100 - T_{ext}$$
Puis, pour une durée de dix minutes, on a :
$$T(t=10) = 80 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (100 - T_{ext}) \, e^{K10} + T_{ext} = 80$$
Puis, pour une durée de 20 minutes, on a :
$$T(t=20) = 65 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (100 - T_{ext}) \, e^{K20} + T_{ext} = 65$$
Ainsi, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} (100 - T_{ext}) \, e^{K10} + T_{ext} & = & 80 \\ (100 - T_{ext}) \, e^{K20} + T_{ext} & = & 65 \\ A & = & 100 - T_{ext} \\ \end{array} \right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} (100 - T_{ext}) \, e^{10K} + T_{ext} & = & 80 \\ (100 - T_{ext}) \, \left(e^{10K}\right)^2 + T_{ext} & = & 65 \\ A & = & 100 - T_{ext} \\ \end{array} \right.$$
La première de ces trois équations nous donne :
$$e^{10K} = \dfrac{80 - T_{ext}}{100 - T_{ext}}$$
Donc, la deuxième devient :
$$(100 - T_{ext}) \, \left( \dfrac{80 - T_{ext}}{100 - T_{ext}} \right)^2 + T_{ext} = 65$$
On a alors après simplification par $$(100 - T_{ext})$$ :
$$\dfrac{\left( 80 - T_{ext} \right)^2 }{100 - T_{ext}} = 65 - T_{ext} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left( 80 - T_{ext} \right)^2 = (100 - T_{ext}) \, (65 - T_{ext})$$
En développant :
$$6400 - 160 T_{ext} + T_{ext}^2 = 6500 - 165 T_{ext} + T_{ext}^2$$
Soit :
$$0 = 100 - 5 T_{ext} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 5 T_{ext} = 100 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, T_{ext} = \dfrac{100}{5}$$
Finalement :
$$T_{ext} = 20$$
Et de fait :
$$A = 80$$
Ainsi, on en déduit que :
$$e^{10K} = \dfrac{80 - 20}{100 - 20} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, e^{10K} = \dfrac{3}{4} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, K = \dfrac{\ln \left( \dfrac{3}{4} \right)}{10}$$
Donc la loi d'évolution de la température du gâteau tes donc la suivante :
$${\color{red}{\boxed{T(t) = 80 \, e^{ \frac{\ln \left( \frac{3}{4} \right)}{10} \, t} + 20}}}$$
La température de la cuisine est donc de $${\color{red}{\boxed{20 \, ^\circ C}}}$$.