Cours : La méthode de la variation de la constante

La $${\color{red}{\textbf{méthode de variation de la constante}}}$$, parfois également appelée méthode de $${\color{red}{\textbf{Lagrange}}}$$, est une méthode pour déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (sans second membre).
La méthode a été inventée par le mathématicien et physicien $${\color{red}{\textbf{Pierre-Simon de Laplace}}}$$, pour la résolution des équations différentielles linéaires. Elle tire son nom de ce que, pour l'essentiel, elle consiste à chercher les solutions sous une forme analogue à celle déjà trouvée pour une équation associée plus simple, mais en remplaçant la ou les constantes de cette solution par de nouvelles fonctions inconnues.
Pour être précis, la méthode a été initiée par le Mathématicien franco-italien
$${\color{red}{\textbf{Joseph Louis Lagrange}}}$$ et inventée et généralisée par le mathématicien et physicien $${\color{red}{\textbf{Pierre-Simon de Laplace}}}$$, pour la résolution des équations différentielles linéaires.

$$\blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Principe de la méthode}$$
On considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre, avec second membre, suivante :
$$a(x) \, y'(x) + b(x) \, y(x) = c(x)$$
La solution globale recherchée $$y$$ est la somme de la solution homogène $$y_h$$ et de la solution particulière $$y_p$$. Soit :
$$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$
$$\,\,\, \clubsuit\,\, \textbf{Recherche de la solution homogène}$$
On considère l'équation différentielle homogène associée :
$$a(x) \, y_h'(x) + b(x) \, y_h(x) = 0$$
Qui va s'écrire :
$$a(x) \, y_h'(x) = - b(x) \, y_h(x) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{y_h'(x)}{y_h(x)} = - \dfrac{b(x)}{a(x)}$$
En intégrant, on trouve que :
$$\int \dfrac{y_h'(x)}{y_h(x)} \, dx = - \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \ln y_h(x) + C_1 = - \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx$$
Avec $$C_1$$ qui est une constante. En prenant l'exponentielle de cette égalité, on trouve que :
$$e^{\ln y_h(x) + C_1} = e^{- \displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, y_h(x) e^{C_1} = e^{- \displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}}$$
Ce qui nous donne encore :
$$y_h(x) = e^{- C_1} \, e^{- \displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, y_h(x) = C \, e^{- \displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}}$$
Avec $$C = e^{- C_1}$$ qui est une constante non nulle. Soit $$F$$ la primitive présente dans l'exponentielle. On note donc :
$$F(x) = \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, F'(x) = \dfrac{b(x)}{a(x)}$$
Ce qui nous donne l'écriture suivante de $$y_h(x)$$ :
$$\boxed{y_h(x) = C \, e^{- F(x)}}$$
$$\,\,\, \clubsuit\,\, \textbf{Recherche de la solution particulière}$$
Pour trouver la solution particulière $$y_p$$ on va utiliser la méthode dite de $${\color{red}{\textbf{la variation de la constante}}}$$.
L'idée est de "supposer" que la solution particulière $$y_p$$ doit être "assez proche" de la forme de la solution homogène $$y_h$$ car provenant de l'équation différentielle homogène de la même équation différentielle linéaire. C'est une méthode souvent qualifiée de $${\color{blue}{\textbf{méthode à la physicienne}}}$$.
Afin de rester "proche" de la forme de la solution particulière $$y_p$$, on rend la $${\color{red}{\textbf{constante variable} \,\, C=C(x)}}$$ ; d'où le nom de la méthode.
Ainsi, on pose donc :
$$y_p(x) = C(x) \, e^{- F(x)}$$
Dès lors, on a :
$$y'_p(x) = C'(x) \, e^{- F(x)} - C(x) \, F'(x) \, e^{- F(x)}$$
Donc, l'équation différentielle linéaire du premier ordre, avec second membre, devient :
$$a(x) \, \left[ C'(x) \, e^{- F(x)} - C(x) \, F'(x) \, e^{- F(x)} \right] + b(x) \, C(x) \, e^{- F(x)} = c(x)$$
Soit encore :
$$a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} - a(x) \, C(x) \, F'(x) \, e^{- F(x)} + b(x) \, C(x) \, e^{- F(x)} = c(x)$$
Or, on sait que $$(e^{- F(x)})'= - F'(x) \, e^{- F(x)}$$. Ce qui nous permet d'écrire l'équation (13) sous la forme suivante :
$$a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} + a(x) \, C(x) \,(e^{- F(x)})' + b(x) \, C(x) \, e^{- F(x)} = c(x)$$
En factorisant par $$C(x)$$ on obtient :
$$a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} + C(x) \, \left[ a(x) \,(e^{- F(x)})' + b(x) \, e^{- F(x)} \right] = c(x) \,\,\,\,\,\,\,\, (\star)$$
Mais $$y_h(x) = C \, e^{- F(x)}$$ est solution de l'équation différentielle homogène associée, à savoir :
$$a(x) \,(C \, e^{- F(x)})' + b(x) \, C \, e^{- F(x)} = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C \, \left[ a(x) \,( e^{- F(x)})' + b(x) \, e^{- F(x)}\right] = 0$$
Comme $$C$$ est non nulle, cela signifie que :
$$a(x) \,( e^{- F(x)})' + b(x) \, e^{- F(x)} = 0$$
Donc on obtient :
$$a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} + C(x) \, 0 = c(x) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} = c(x)$$
Ainsi l'équation $$(\star)$$ devient :
$$C'(x) \, e^{- F(x)} = \dfrac{c(x)}{a(x)} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C'(x) = \dfrac{c(x)}{a(x) \, e^{- F(x)}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C'(x) = \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)}$$
En intégrant, on trouve que :
$$C(x) = \int \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)} \, dx$$
Ainsi, la solution particulière prend la forme suivante :
$$\boxed{y_p(x) = \int \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)} \, dx \,\, e^{- F(x)}}$$
$$\,\,\, \clubsuit\,\, \textbf{Recherche de la solution globale}$$
La solution globale $$y$$ de l'équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre est donc, par linéarité, la somme des deux trouvé précédemment :
$$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$
A savoir :
$$y(x) = C \, e^{- F(x)} + \int \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)} \, dx \,\, e^{- F(x)}$$
Finalement, en factorisant par le terme $$e^{- F(x)}$$, on obtient le résultat souhaité :
$$\boxed{y(x) = \left( C + \int \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)} \, dx \right) \, e^{- F(x)} }$$
ou encore :
$$\boxed{y(x) = \left( C + \displaystyle{\int \dfrac{c(x)}{a(x)} \,\, e^{ \,\displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}} \, dx } \right) \, e^{- \displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}} }$$
Dans les trois processus de $${\color{blue}{\textbf{primitivation}}}$$ présents, il faut mettre les constantes d'intégration à zéro.
La constante $$C$$ présente dans la solution générale $$y$$ sera à déterminer à l'aide d'une condition particulière ou une condition initiale.
Vous allez mettre ceci en application !