Diagonaliser une matrice carrée d'ordre 3 : Mise en pratique dans le cas où les racines du polynôme caractéristique sont multiples. - Exercice 1
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Soit E un R-espace vectoriel de dimension trois. On désigne l'élément identité de E par IdE. Soit u∈L(E) représentée, dans une certaine base B de E, par la matrice A suivante : A=⎝⎛3−10413−112⎠⎞
Question 1
Déterminer les éléments propres de u. Ceci signifie qu'il vous faut déterminer l'ensemble des valeurs propres de A (c'est-à-dire le spectre SpR(A)) et les vecteurs propres associés.
Correction
Soit λ une valeur propre réelle de u. Le polynôme caractéristique est donné par : P(λ)=det(A−λI3)=det⎝⎛⎝⎛3−10413−112⎠⎞−λ⎝⎛100010001⎠⎞⎠⎞=det⎝⎛⎝⎛3−10413−112⎠⎞+⎝⎛−λ000−λ000−λ⎠⎞⎠⎞ Soit : P(λ)=det⎝⎛⎝⎛3−λ−1041−λ3−112−λ⎠⎞⎠⎞=∣∣3−λ−1041−λ3−112−λ∣∣ Si on effectue la substitution C1⟵C1+C3 on obtient alors : P(λ)=∣∣2−λ02−λ41−λ3−112−λ∣∣ En factorisant par le terme 2−λ issu de la première colonne, on obtient : P(λ)=(2−λ)×∣∣10141−λ3−112−λ∣∣ Si on effectue maintenant la substitution L3⟵L3−L1 alors on obtient : P(λ)=(2−λ)×∣∣10041−λ−1−113−λ∣∣ On va donc développer le déterminant trouvé selon la première colonne. On a alors : P(λ)=(2−λ)×(−1)1+1×1×∣∣1−λ−113−λ∣∣=(2−λ)×∣∣1−λ−113−λ∣∣ Donc : P(λ)=(2−λ)×((1−λ)×(3−λ)−(−1)×1)=(2−λ)×((1−λ)×(3−λ)+1) Soit : P(λ)=(2−λ)×(λ2−4λ+1)=(2−λ)×(λ−2)2=(2−λ)×(−1)2(λ−2)2=(2−λ)×(2−λ)2 Finalement, on trouve que : P(λ)=(2−λ)3 De fait : P(λ)=0⟺(2−λ)3=0⟹2−λ=0⟹λ=2 Donc u présente une seule valeur propre λ=2 et qui est triplement dégénérée. On a alors : SpR(A)={2} Notons par x un vecteur propre. Afin de déterminer le sous-espace propre associé, noté V(2), utilisons sa définition : V(2)=ker(u−2IdE)={u(x)=2x∣x∈E} Introduisons la représentation matricielle X du vecteur propre x dans la base B de E suivante : X=⎝⎛abc⎠⎞avec(a;b;c)∈R3 En utilisant la représentation matricielle on a alors : AX=2X⟺AX−2X=O3;1⟺(A−2I3)X=O3;1 Soit : ⎝⎛⎝⎛3−10413−112⎠⎞−2⎝⎛100010001⎠⎞⎠⎞⎝⎛abc⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞⟺⎝⎛3−2−1041−23−112−2⎠⎞⎝⎛abc⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞ Soit encore : ⎝⎛1−104−13−110⎠⎞⎝⎛abc⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞ Ce qui nous donne le système linéaire suivant : ⎩⎨⎧a−c−a+cb===000⟺⎩⎨⎧abc∈==R0a Donc : X=⎝⎛a0a⎠⎞aveca∈R Soit encore : X=a⎝⎛101⎠⎞aveca∈R De fait, on peut en conclure que : V(2)=Vect⎩⎨⎧⎝⎛101⎠⎞⎭⎬⎫
Question 2
L'endomorphisme u est-il diagonalisable ? Justifier votre réponse.
Correction
Effectuons un raisonnement par l'absurde. Supposons que l'endomorphisme étudié u soit effectivement diagonalisable. Si u est diagonalisable alors il existe une matrice P inversible appartenant à M3(R) telle que nous ayons : P−1AP=⎝⎛200020002⎠⎞ Soit : P−1AP=2⎝⎛100010001⎠⎞ Soit encore : P−1AP=2I3 Ainsi : PP−1APP−1=P2I3P−1⟺I3AI3=P2P−1⟺I3A=2PP−1⟺A=2I3 On trouve alors que : A=⎝⎛200020002⎠⎞ Ceci est clairement en contradiction avec la définition de A par l'énoncé, puisque A=⎝⎛3−10413−112⎠⎞. De fait, notre supposition initiale est fausse. En conclusion, l'endomorphisme étudié u n'est pas diagonalisable.