Un bon équivalent ! - Exercice 1

On a :
$$f(x) = (1+x)^{\frac{1}{x^2}} = e^{\ln\left( (1+x)^{\frac{1}{x^2}} \right)} = e^{\frac{1}{x^2}\ln\left( 1+x \right)}$$
Or, on sait que :
$$\ln\left( 1+x \right) = x - \dfrac{1}{2}x^2 + o(x^2)$$
Ce qui implique que :
$$\dfrac{1}{x^2}\ln\left( 1+x \right) = \dfrac{x - \dfrac{1}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2} = \dfrac{x}{x^2} - \dfrac{\dfrac{1}{2}x^2}{x^2} + \dfrac{o(x^2)}{x^2} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} + o(1)$$
Donc :
$$e^{\frac{1}{x^2}\ln\left( 1+x \right)} = e^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2} + o(1)}$$
Ce qui implique que :
$$f(x) \underset{0}{\sim} e^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}$$
Qui s'écrit également comme :
$$f(x) \underset{0}{\sim} e^{\frac{1}{x}} \times e^{-\frac{1}{2}}$$
Soit encore :
$$f(x) \underset{0}{\sim} e^{\frac{1}{x}} \times \dfrac{1}{\sqrt{e}}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ f(x) \underset{0}{\sim} \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{e}} }}}$$
Graphiquement, on observe que :

Il y a une parfaite superposition au voisinage de $$0^+$$.