Exemple en Physique : Mécanique terrestre - Exercice 1

Il est possible d'approcher le comportement d'une fonction numérique $$f$$ ($$n \in \mathbb{N}$$ fois dérivable) univariée, au voisinage de l'abscisse $$x_0 \in \mathcal{D}_f$$, par un polynôme $$P_n$$ de degré $$n$$. Ceci s'appelle $${\color{red}{\textbf{réaliser un développement limité à l'ordre} \,\ n}}$$, $${\color{blue}{\textbf{au voisinage de} \,\, x_0}}$$.
Pour cela, dans la pratique, le physicien utilise la célèbre formule suivante, dite $${\color{red}{\textbf{formule du polynôme de \textit{Taylor}}}}$$ :
$$P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0) \, (x-x_0) + \dfrac{1}{2} f''(x_0) \, (x-x_0)^2 + \dfrac{1}{6} f'''(x_0) \, (x-x_0)^3 + \cdots + \dfrac{1}{n !} f^{(n)}(x_0) \, (x-x_0)^n$$
On reconnais dans le début du développement l'expression $$f(x_0) + f'(x_0) \, (x-x_0)$$ qui n'est autre que l'approximation affine (c'est-à-dire l'équation de la tangente). Le terme $$f^{(n)}$$ est la $$n$$-ième dérivée de la fonction $$f$$.