Rappel nombre dérivé

On rappelle ici la notion de nombre dérivé.
Soit $$f$$ une fonction numérique d'une seule variable. Cette fonction $$f$$ est définie sur un intervalle ouvert contenant $$x_0$$. On dit que $${\color{red}{f \textbf{ est dérivable en } x_0}}$$ si (avec $$h \in \mathbb{R}$$) :
$$\lim_{h \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \ell \neq \pm \infty$$
Il faut impérativement que cette valeur limite $$\ell$$ soit $${\color{red}{\textbf{unique}}}$$. Cette limite unique porte le nom de $${\color{red}{\textbf{nombre dérivé}}}$$ et, de manière abrégée, se note $$f'(x_0)$$.
Il arrive parfois d'utiliser une autre expression du nombre dérivé $$f'(x_0)$$, à savoir :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \ell \neq \pm \infty$$
Sous cette forme, on comprend parfaitement que le nombre dérivé en $$x_0$$ soit le limite du taux de variations de $$f$$ en ce point $$x_0$$ de l'intervalle ouvert considéré initialement.
Par exemple :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, {\color{blue}{1}}} \dfrac{\ln(x)}{x - 1} = \lim_{x \, \longrightarrow \, {\color{blue}{1}}} \dfrac{\ln(x) - 0}{x - 1} = \lim_{x \, \longrightarrow \, 1} \dfrac{\ln(x) - \ln({\color{blue}{1}})}{x - 1} = \ln'(x)_{x = {\color{blue}{1}}} = \dfrac{1}{{\color{blue}{1}}} = 1$$