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Dérivées nnièmes et formule de Leibniz - Exercice 1

10 min
20
Question 1

Calculer la dérivée 55ième de la fonction hh de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R} définie par : h(x)=3x2exh\left(x\right)=3x^2e^{x} .

Correction
    Formule de Leibniz
  • Soient ff et gg deux fonctions nn fois dérivables sur un intervalle II, alors leur produit (f⋅g)\left(f\cdot g\right) est nn fois dérivable sur II et on a :
    (f⋅g)(n)(x)=∑k=0n(nk)f(k)(x)⋅g(n−k)(x){\left(f\cdot g\right)}^{\left(n\right)}\left(x\right)=\sum_{k=0}^n\left( \begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)f^{\left(k\right)}\left(x\right)\cdot g^{\left(n-k\right)}\left(x\right)
    • Soit h(x)=3x2exh\left(x\right)=3x^2e^{x} que l'on peut écrire h(x)=f(x)⋅g(x)h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) en posant : f(x)=3x2f\left(x\right)=3x^2 et g(x)=exg\left(x\right)=e^x .
    ff est cinq fois dérivable sur R\mathbb{R}
    gg est cinq fois dérivable sur R\mathbb{R}
    Ainsi : hh est cinq fois dérivable sur R\mathbb{R} .
    De plus, pour tout entier naturel kk , g(k)(x)=exg^{\left(k\right)}\left(x\right) =e^{x} .
    Nous avons également, f′(x)=6xf'\left(x\right)=6x et f′′(x)=6f''\left(x\right)=6 ainsi pour tout entier k≥3k\ge 3 tel que f(k)(x)=0f^{\left(k\right)}\left(x\right) =0 .
    Il vient alors que :
    (f⋅g)(5)(x)=∑k=0n(5k)f(k)(x)⋅g(5−k)(x){\left(f\cdot g\right)}^{\left(5\right)}\left(x\right)=\sum_{k=0}^n\left( \begin{array}{c}5 \\ k\end{array}\right)f^{\left(k\right)}\left(x\right)\cdot g^{\left(5-k\right)}\left(x\right)
    (fg)(5)(x)=(50)f(0)(x)g(5−0)(x)+(51)f(1)(x)g(5−1)(x)+(52)f(2)(x)g(5−2)(x)+(53)f(3)(x)g(5−3)(x)+(54)f(4)(x)g(5−4)(x)+(55)f(5)(x)g(5−5)(x){\left(fg\right)}^{\left(5\right)}\left(x\right)=\left( \begin{array}{c}5 \\ 0 \end{array}\right)f^{\left(0\right)}\left(x\right)g^{\left(5-0\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}5 \\1 \end{array}\right)f^{\left(1\right)}\left(x\right)g^{\left(5-1\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}5 \\ 2 \end{array}\right)f^{\left(2\right)}\left(x\right)g^{\left(5-2\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array}\right)f^{\left(3\right)}\left(x\right)g^{\left(5-3\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}5 \\ 4 \end{array}\right)f^{\left(4\right)}\left(x\right)g^{\left(5-4\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}5 \\ 5 \end{array}\right)f^{\left(5\right)}\left(x\right)g^{\left(5-5\right)}\left(x\right)
    (fg)(5)(x)=(50)f(0)(x)g(5)(x)+(51)f(1)(x)g(4)(x)+(52)f(2)(x)g(3)(x)+(53)f(3)(x)g(5−3)(x)⏟=0+(54)f(4)(x)g(5−4)(x)⏟=0+(55)f(5)(x)g(5−5)(x)⏟=0{\left(fg\right)}^{\left(5\right)}\left(x\right)=\left( \begin{array}{c}5 \\ 0 \end{array}\right)f^{\left(0\right)}\left(x\right)g^{\left(5\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}5 \\ 1 \end{array}\right)f^{\left(1\right)}\left(x\right)g^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}5 \\2\end{array}\right)f^{\left(2\right)}\left(x\right)g^{\left(3\right)}\left(x\right)+\underbrace{\left( \begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array}\right)f^{\left(3\right)}\left(x\right)g^{\left(5-3\right)}\left(x\right)}_{=0}+\underbrace{\left( \begin{array}{c}5 \\ 4 \end{array}\right)f^{\left(4\right)}\left(x\right)g^{\left(5-4\right)}\left(x\right)}_{=0}+\underbrace{\left(\begin{array}{c}5 \\ 5 \end{array}\right)f^{\left(5\right)}\left(x\right)g^{\left(5-5\right)}\left(x\right)}_{=0}
    (fg)(5)(x)=(50)f(0)(x)g(5)(x)+(51)f(1)(x)g(4)(x)+(52)f(2)(x)g(3)(x){\left(fg\right)}^{\left(5\right)}\left(x\right)=\left( \begin{array}{c}5 \\ 0 \end{array}\right)f^{\left(0\right)}\left(x\right)g^{\left(5\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}5 \\ 1 \end{array}\right)f^{\left(1\right)}\left(x\right)g^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}5 \\ 2\end{array}\right)f^{\left(2\right)}\left(x\right)g^{\left(3\right)}\left(x\right)
    (fg)(5)(x)=1×3x2×ex+5×6x×ex+10×6×ex{\left(fg\right)}^{\left(5\right)}\left(x\right)=1\times 3x^2 \times e^x+5\times6x \times e^x+10 \times 6 \times e^x
    Ainsi :
    (fg)(5)(x)=ex(3x2+30x+60){\left(fg\right)}^{\left(5\right)}\left(x\right)=e^x \left(3x^2+30x+60\right)

    Question 2

    Calculer la dérivée 33ième de la fonction hh de ]−1;+∞[\left]-1;+\infty\right[ dans R\mathbb{R} définie par : h(x)=cos⁡(x)x+1h\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{x+1} .

    Correction
      Formule de Leibniz
  • Soient ff et gg deux fonctions nn fois dérivables sur un intervalle II, alors leur produit (f⋅g)\left(f\cdot g\right) est nn fois dérivable sur II et on a :
    (f⋅g)(n)(x)=∑k=0n(nk)f(k)(x)⋅g(n−k)(x){\left(f\cdot g\right)}^{\left(n\right)}\left(x\right)=\sum_{k=0}^n\left( \begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)f^{\left(k\right)}\left(x\right)\cdot g^{\left(n-k\right)}\left(x\right)
    • Soit h(x)=cos⁡(x)x+1h\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{x+1} que l'on peut écrire h(x)=f(x)⋅g(x)h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) en posant : f(x)=cos⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x\right) et g(x)=1x+1g\left(x\right)=\frac{1}{x+1} .
    ff est trois fois dérivable sur ]−1;+∞[\left]-1;+\infty\right[
    gg est trois fois dérivable sur ]−1;+∞[\left]-1;+\infty\right[
    Ainsi : hh est trois fois dérivable sur ]−1;+∞[\left]-1;+\infty\right[ .
    De plus :
    f′(x)=−sin⁡(x)f'\left(x\right)=-\sin \left(x\right) ; f′′(x)=−cos⁡(x)f''\left(x\right)=-\cos \left(x\right) et f(3)(x)=sin⁡(x)f^{\left(3\right)}\left(x\right) =\sin \left(x\right) .
    g′(x)=−1(x+1)2g'\left(x\right)=-\frac{1}{\left(x+1\right)^2} ; g′′(x)=2(x+1)3g''\left(x\right)=\frac{2}{\left(x+1\right)^3} et g(3)(x)=−6(x+1)4g^{\left(3\right)}\left(x\right) =-\frac{6}{\left(x+1\right)^4} .
    Il vient alors que :
    (f⋅g)(3)(x)=∑k=0n(3k)f(k)(x)⋅g(3−k)(x){\left(f\cdot g\right)}^{\left(3\right)}\left(x\right)=\sum_{k=0}^n\left( \begin{array}{c}3 \\ k\end{array}\right)f^{\left(k\right)}\left(x\right)\cdot g^{\left(3-k\right)}\left(x\right)
    (fg)(3)(x)=(30)f(0)(x)g(3−0)(x)+(31)f(1)(x)g(3−1)(x)+(32)f(2)(x)g(3−2)(x)+(33)f(3)(x)g(3−3)(x){\left(fg\right)}^{\left(3\right)}\left(x\right)=\left( \begin{array}{c}3 \\ 0 \end{array}\right)f^{\left(0\right)}\left(x\right)g^{\left(3-0\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}3 \\1 \end{array}\right)f^{\left(1\right)}\left(x\right)g^{\left(3-1\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}3 \\ 2 \end{array}\right)f^{\left(2\right)}\left(x\right)g^{\left(3-2\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}3 \\ 3 \end{array}\right)f^{\left(3\right)}\left(x\right)g^{\left(3-3\right)}\left(x\right)
    (fg)(3)(x)=(30)f(0)(x)g(3)(x)+(31)f(1)(x)g(2)(x)+(32)f(2)(x)g(1)(x)+(33)f(3)(x)g(0)(x){\left(fg\right)}^{\left(3\right)}\left(x\right)=\left( \begin{array}{c}3 \\ 0 \end{array}\right)f^{\left(0\right)}\left(x\right)g^{\left(3\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}3 \\1 \end{array}\right)f^{\left(1\right)}\left(x\right)g^{\left(2\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}3 \\ 2 \end{array}\right)f^{\left(2\right)}\left(x\right)g^{\left(1\right)}\left(x\right)+\left( \begin{array}{c}3 \\ 3 \end{array}\right)f^{\left(3\right)}\left(x\right)g^{\left(0\right)}\left(x\right)
    (fg)(3)(x)=1×cos⁡(x)×−6(x+1)4+3×(−sin⁡(x))×2(x+1)3+3×(−cos⁡(x))×(−1(x+1)2)+1×sin⁡(x)×1x+1{\left(fg\right)}^{\left(3\right)}\left(x\right)=1 \times \cos \left(x\right)\times -\frac{6}{\left(x+1\right)^4}+3 \times \left(-\sin \left(x\right)\right)\times \frac{2}{\left(x+1\right)^3}+3 \times \left(-\cos \left(x\right)\right) \times \left(-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\right) +1 \times \sin \left(x\right) \times \frac{1}{x+1}
    Ainsi :
    (fg)(3)(x)=−6cos(x) (x+1)4−6sin(x) (x+1)3+3cos(x) (x+1)2+sin(x) x+1{\left(fg\right)}^{\left(3\right)}\left(x\right)=-\frac{6{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}{{\left(x+1\right)}^4}-\frac{6{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{{\left(x+1\right)}^3}+\frac{3{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{x+1}