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Dérivations partielles en Physique - Exercice 3

10 min
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Un exercice relativement simple dans le domaine de la Mécanique.
L'énergie cinétique KK, d'un objet de masse mm évoluant à la vitesse vv dans un référentiel R\mathcal{R}, à pour expression :
K=12mv2K = \dfrac{1}{2} m v^2
Question 1

Démontrer que : ∂K∂m∂2K∂v2=K\dfrac{\partial K}{\partial m} \dfrac{\partial^2 K}{\partial v^2} = K

Correction
On a :
∂K∂m∂2K∂v2=∂∂m(12mv2)∂2∂v2(12mv2)=12v2∂∂m(m)12m∂2∂v2(v2)\dfrac{\partial K}{\partial m} \dfrac{\partial^2 K}{\partial v^2} = \dfrac{\partial }{\partial m} \left( \dfrac{1}{2} m v^2 \right) \dfrac{\partial^2 }{\partial v^2} \left( \dfrac{1}{2} m v^2 \right) = \dfrac{1}{2} v^2\dfrac{\partial }{\partial m} \left( m \right) \dfrac{1}{2} m \dfrac{\partial^2 }{\partial v^2} \left( v^2 \right)
Soit encore :
∂K∂m∂2K∂v2=12v2∂∂m(m)12m∂∂v(∂∂v(v2))=12v2×1×12m∂∂v(2v)\dfrac{\partial K}{\partial m} \dfrac{\partial^2 K}{\partial v^2} = \dfrac{1}{2} v^2\dfrac{\partial }{\partial m} \left( m \right) \dfrac{1}{2} m \dfrac{\partial }{\partial v}\left(\dfrac{\partial }{\partial v} \left( v^2 \right)\right) = \dfrac{1}{2} v^2 \times 1 \times \dfrac{1}{2} m \dfrac{\partial }{\partial v}\left(2v\right)
Ainsi :
∂K∂m∂2K∂v2=12v2×1×12m×2=12mv2\dfrac{\partial K}{\partial m} \dfrac{\partial^2 K}{\partial v^2} = \dfrac{1}{2} v^2 \times 1 \times \dfrac{1}{2} m \times 2 = \dfrac{1}{2} m v^2
Finalement :
∂K∂m∂2K∂v2=K{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial K}{\partial m} \dfrac{\partial^2 K}{\partial v^2} = K }}}