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Dérivations partielles en Physique - Exercice 2

15 min
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Encore un exercice qui illustre l'usage des dérivées partielles en Thermodynamique.
L'équation d'état de Van  der  WaalsVan \,\, der \,\, Waals modélise un gaz réel. Elle fut proposée par le physicien Johannes Diderik van der Waals{\color{red}{\textbf{Johannes Diderik van der Waals}}} en 18731873.
Par rapport à l'équation d'état des gaz parfaits, l'équation d'état de Van  der  WaalsVan \,\, der \,\, Waals tient compte de la tailles des molécules et de certaines de leurs interactions attractives. Elle s'écrit :
(P+n2aV2)(V−nb)=nRT\left(P + \dfrac{n^2 a}{V^2} \right) (V - nb) = nRT
Dans cette équation PP est la pression du gaz, VV son volume, TT sa température absolue, et nn le nombre de moles qu'il contient. La constante a>0a >0 s'appelle le terme de cohésion, et le terme b>0b>0 porte le nom de covolume molaire. RR est la constante universelle des gaz parfaits.
Question 1

Calculer ∂T∂P\dfrac{\partial T}{\partial P}.

Correction
On a :
∂T∂P=∂∂P[(P+n2aV2)(V−nbnR)]=∂∂P[(V−nbnR)P+(V−nbnR)n2aV2(V−nbnR)]\dfrac{\partial T}{\partial P} = \dfrac{\partial }{\partial P} \left[ \left( P + \dfrac{n^2 a}{V^2} \right) \left( \dfrac{V - nb}{nR} \right) \right] = \dfrac{\partial }{\partial P} \left[ \left( \dfrac{V - nb}{nR} \right) P + \left( \dfrac{V - nb}{nR} \right)\dfrac{n^2 a}{V^2}\left( \dfrac{V - nb}{nR} \right)\right]
Finalement :
∂T∂P=V−nbnR{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial T}{\partial P} = \dfrac{V - nb}{nR} }}}
Question 2

Calculer ∂P∂V\dfrac{\partial P}{\partial V}.

Correction
On a :
∂P∂V=∂∂V[nRTV−nb−n2aV2]=∂∂V[nRTV−nb]−∂∂V[n2aV2]\dfrac{\partial P}{\partial V} = \dfrac{\partial }{\partial V} \left[\dfrac{nRT}{V-nb} - \dfrac{n^2 a}{V^2} \right] = \dfrac{\partial }{\partial V} \left[ \dfrac{nRT}{V-nb} \right] - \dfrac{\partial }{\partial V} \left[ \dfrac{n^2 a}{V^2} \right]
Soit :
∂P∂V=nRT∂∂V[1V−nb]−n2a∂∂V[1V2]\dfrac{\partial P}{\partial V} = nRT \dfrac{\partial }{\partial V} \left[ \dfrac{1}{V-nb} \right] - n^2 a\dfrac{\partial }{\partial V} \left[ \dfrac{1}{V^2} \right]
D'où :
∂P∂V=nRT[−1(V−nb)2]−n2a[−2V3]\dfrac{\partial P}{\partial V} = nRT \left[ \dfrac{-1}{(V-nb)^2} \right] - n^2 a \left[ \dfrac{-2}{V^3} \right]
On a alors :
∂P∂V=−nRT(V−nb)2+2n2aV3\dfrac{\partial P}{\partial V} = - \dfrac{nRT}{(V-nb)^2} + \dfrac{2n^2 a}{V^3}
Seule la première contribution au membre de droite est transformable. On peut écrire :
∂P∂V=−(P+n2aV2)(V−nb)(V−nb)2+2n2aV3\dfrac{\partial P}{\partial V} = - \dfrac{\left(P + \dfrac{n^2 a}{V^2}\right)(V - nb)}{(V-nb)^2} + \dfrac{2n^2 a}{V^3}
En simplifiant par V−nb≠0V - nb \neq 0, on obtient finalement :
∂P∂V=−(P+n2aV2)V−nb+2n2aV3{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial P}{\partial V} = - \dfrac{\left(P + \dfrac{n^2 a}{V^2}\right)}{V-nb} + \dfrac{2n^2 a}{V^3} }}}