Dérivations partielles en Physique (plus compliqué) - Exercice 2

Il y a une parfaite symétrie des rôles entre $$x$$, $$y$$ et $$z$$. De fait, on va calculer les variations de $$U$$ selon $$x$$, et on en déduira les résultats pour les variations de $$U$$ selon $$y$$ et $$z$$. On a alors :
$$\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \right)$$
Soit :
$$\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{-\dfrac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^2}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\dfrac{-\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)} {2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}$$
Ainsi, on obtient :
$$\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\dfrac{-2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = - \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$
D'où :
$$\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = - \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$$
Puis, on a :
$$\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial U}{\partial x} \right)(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( - \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = - \left( \dfrac{\dfrac{\partial x}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{3/2} - x\dfrac{\partial }{\partial x} (x^2+y^2+z^2)^{3/2}}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}^2} \right)$$
Soit encore :
$$\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = - \left( \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^{3/2} - x \times \dfrac{3}{2} \times 2x \times (x^2+y^2+z^2)^{1/2}}{{(x^2+y^2+z^2)^3}} \right)$$
En simplifiant par $$(x^2+y^2+z^2)^{1/2} \neq 0$$, on trouve que :
$$\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = - \left( \dfrac{(x^2+y^2+z^2) - 3x^2} {{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}} \right)$$
D'où :
$$\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = - \dfrac{y^2+z^2 - 2x^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}}$$
Finalement, on trouve que :
$$\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{2x^2 - y^2 - z^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}}$$
Par symétrie et identification, on trouve que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z) & = & \dfrac{2y^2 - x^2 -z^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}} \\ & & \\ \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z) & = & \dfrac{2z^2 - x^2 - y^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}} \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, on a :
$$\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) + \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z) + \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{2x^2 - y^2 - z^2+2y^2 - x^2 - z^2 +2z^2 - x^2 - y^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}}$$
Finalement, on a :
$${\color{red}{\boxed{\Delta U(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) +\dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z) +\dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z) = 0}}}$$
C'est une EDP très connues des physiciens qui porte le nom d'équation aux dérivées partielles de $$Laplace$$ et ses solutions sont des souvent des fonctions "spéciales" très bien connues des mathématiciens et des physiciens théoriciens. En terme de vocabulaire, toute fonction $$U$$ qui satisfait à l'équation de $$Laplace$$ $$\Delta U = 0$$ est qualifiée de fonction $${\color{red}{\textbf{harmonique}}}$$.