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Dérivations partielles en Physique (plus compliqué) - Exercice 1

35 min
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Il existe les dérivées partielles secondes d'une fonction ff qui dépend de plusieurs variables. A titre d'exemple, considérons la fonction ff, à deux variables réelles, suivante :
(x ; y)∈R2,  f(x ; y)=2x2y+3x3y2+x(x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2, \,\, f(x\,;\,y) = 2x^2y + 3x^3y^2 + x
Dans ce cas, on a la dérivée partielle, par rapport à xx, suivante :
∂f∂x(x ; y)=4xy+9x2y2+1\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = 4xy+9x^2y^2+1
Donc, la dérivée partielle seconde, par rapport à xx, est la suivante :
∂2f∂x2(x ; y)=∂∂x(∂f∂x)(x ; y)=∂∂x(4xy+9x2y2+1)=4y+18xy2\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x} \right)(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( 4xy+9x^2y^2+1 \right) = 4y+18xy^2
De même, la dérivée partielle, par rapport à yy, suivante :
∂f∂y(x ; y)=2x2+6x3y\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = 2x^2+6x^3y
Donc, la dérivée partielle seconde, par rapport à yy, est la suivante :
∂2f∂y2(x ; y)=∂∂y(∂f∂y)(x ; y)=∂∂y(2x2+6x3y)=6x3\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right)(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( 2x^2+6x^3y \right) = 6x^3
Question 1

Lorsque qu'une température sinusoïdale est imposée à la surface d'un milieu conducteur de chaleur, la solution de l'équation de la chaleur unidimensionnelle peut être :
T(x ; t)=T0+T1e−λxsin⁡(ωt−λx)T(x\,;\,t) = T_0 +T_1 e^{-\lambda x} \sin(\omega t - \lambda x)
Par exemple, cette forme de solution permet de modéliser la pénétration du froid à une profondeur xx (en mètres), à l'instant tt (en jours), ou λ∈R+\lambda \in \mathbb{R}^+ et ω=2π365\omega = \dfrac{2\pi}{365}. Le terme T0T_0 est la température de surface initiale, et T1T_1 est une température de référence.
Déterminer ∂T∂x(x ; t)\dfrac{\partial T}{\partial x}(x\,;\,t). Quelle est la signification physique de ce terme ?

Correction
On a :
∂T∂x(x ; t)=∂∂x(T0+T1e−λxsin⁡(ωt−λx))=T1∂∂x(e−λxsin⁡(ωt−λx))\dfrac{\partial T}{\partial x}(x\,;\,t) =\dfrac{\partial }{\partial x}\left( T_0 +T_1 e^{-\lambda x} \sin(\omega t - \lambda x)\right)=T_1\dfrac{\partial }{\partial x}\left(e^{-\lambda x} \sin(\omega t - \lambda x)\right)
Ce qui nous donne :
∂T∂x(x ; t)=T1∂∂x(e−λx)sin⁡(ωt−λx)+T1e−λx∂∂x(sin⁡(ωt−λx))\dfrac{\partial T}{\partial x}(x\,;\,t) = T_1\dfrac{\partial }{\partial x}\left(e^{-\lambda x} \right)\sin(\omega t - \lambda x) + T_1 e^{-\lambda x}\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\sin(\omega t - \lambda x)\right)
Soit :
∂T∂x(x ; t)=−T1λe−λxsin⁡(ωt−λx)−T1e−λxλcos⁡(ωt−λx)\dfrac{\partial T}{\partial x}(x\,;\,t) = - T_1 \lambda e^{-\lambda x} \sin(\omega t - \lambda x)-T_1 e^{-\lambda x}\lambda\cos(\omega t - \lambda x)
En factorisant :
∂T∂x(x ; t)=−T1λe−λx(sin⁡(ωt−λx)+cos⁡(ωt−λx)){\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial T}{\partial x}(x\,;\,t) = - T_1 \lambda e^{-\lambda x} \left(\sin(\omega t - \lambda x)+\cos(\omega t - \lambda x)\right) }}}
Ce terme ∂T∂x(x ; t)\dfrac{\partial T}{\partial x}(x\,;\,t) représente l'évolution des variations spatiales de la température.
Question 2

Déterminer ∂T∂t(x ; t)\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t). Quelle est la signification physique de ce terme ?

Correction
On a :
∂T∂t(x ; t)=∂∂t(T0+T1e−λxsin⁡(ωt−λx))=T1e−λx∂∂t(sin⁡(ωt−λx))\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( T_0 +T_1 e^{-\lambda x} \sin(\omega t - \lambda x)\right)=T_1 e^{-\lambda x}\dfrac{\partial }{\partial t}\left(\sin(\omega t - \lambda x)\right)
Ce qui nous donne :
∂T∂t(x ; t)=T1e−λxωcos⁡(ωt−λx){\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) = T_1 e^{-\lambda x} \omega\cos(\omega t - \lambda x)}}}
Ce terme ∂T∂t(x ; t)\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) représente l'évolution des variations temporelles de la température.
Question 3

Montrer que la fonction température TT satisfait à l'équation :
∂T∂t(x ; t)=k∂2T∂x2(x ; t)\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) = k \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t)
Déterminer l'expression kk, et préciser son unité.

Correction
On a :
∂2T∂x2(x ; t)=∂∂x∂T∂x(x ; t)=∂∂x(−T1λe−λx(sin⁡(ωt−λx)+cos⁡(ωt−λx)))\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x}\dfrac{\partial T}{\partial x}(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(- T_1 \lambda e^{-\lambda x} \left(\sin(\omega t - \lambda x)+\cos(\omega t - \lambda x)\right)\right)
Soit :
∂2T∂x2(x ; t)=−T1λ∂∂x(e−λx(sin⁡(ωt−λx)+cos⁡(ωt−λx)))\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = - T_1 \lambda \dfrac{\partial }{\partial x}\left(e^{-\lambda x} \left(\sin(\omega t - \lambda x)+\cos(\omega t - \lambda x)\right)\right)
Ainsi, on obtient :
∂2T∂x2(x ; t)=−T1λ×[∂∂x(e−λx)(sin⁡(ωt−λx)+cos⁡(ωt−λx))+e−λx∂∂x(sin⁡(ωt−λx)+cos⁡(ωt−λx))] \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = - T_1 \lambda \times \left[\dfrac{\partial }{\partial x} \left(e^{-\lambda x} \right) \left( \sin(\omega t - \lambda x) + \cos(\omega t - \lambda x) \right) + e^{-\lambda x} \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \sin(\omega t - \lambda x) + \cos(\omega t - \lambda x) \right) \right]
Ce qui nous donne :
∂2T∂x2(x ; t)=−T1λ×[−λe−λx(sin⁡(ωt−λx)+cos⁡(ωt−λx))−λe−λx(cos⁡(ωt−λx)−sin⁡(ωt−λx))]\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = - T_1 \lambda \times \left[-\lambda e^{-\lambda x} \left(\sin(\omega t - \lambda x) + \cos(\omega t - \lambda x) \right) - \lambda e^{-\lambda x} \left(\cos(\omega t - \lambda x) - \sin(\omega t - \lambda x) \right) \right]
Soit encore :
∂2T∂x2(x ; t)=T1λ2e−λx[sin⁡(ωt−λx)+cos⁡(ωt−λx)+cos⁡(ωt−λx)−sin⁡(ωt−λx)]\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = T_1 \lambda^2 e^{-\lambda x} \left[\sin(\omega t - \lambda x)+\cos(\omega t - \lambda x)+\cos(\omega t - \lambda x)-\sin(\omega t - \lambda x)\right]
En simplifiant par le terme sin⁡(ωt−λx)\sin(\omega t - \lambda x) on obtient :
∂2T∂x2(x ; t)=T1λ2e−λx[cos⁡(ωt−λx)+cos⁡(ωt−λx)]\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = T_1 \lambda^2 e^{-\lambda x} \left[ \cos(\omega t - \lambda x) + \cos(\omega t - \lambda x) \right]
Soit :
∂2T∂x2(x ; t)=2T1λ2e−λxcos⁡(ωt−λx)\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = 2 T_1 \lambda^2 e^{-\lambda x} \cos(\omega t - \lambda x)
Mais, on sait que :
∂T∂t(x ; t)=T1e−λxωcos⁡(ωt−λx)      ⟺      cos⁡(ωt−λx)=1T1e−λxω∂T∂t(x ; t)\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) = T_1 e^{-\lambda x} \omega \cos(\omega t - \lambda x) \,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\, \cos(\omega t - \lambda x) = \dfrac{1}{T_1 e^{-\lambda x} \omega}\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t)
Ce qui nous permet d'écrire que :
∂2T∂x2(x ; t)=2T1λ2e−λx1T1e−λxω∂T∂t(x ; t)\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = 2 T_1 \lambda^2 e^{-\lambda x} \dfrac{1}{T_1 e^{-\lambda x} \omega}\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t)
En simplifiant par T1e−λx≠0T_1 e^{-\lambda x} \neq 0, on trouve que :
∂2T∂x2(x ; t)=2λ21ω∂T∂t(x ; t)      ⟺      ∂T∂t(x ; t)=ω2λ2∂2T∂x2(x ; t)\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = 2 \lambda^2 \dfrac{1}{\omega}\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) \,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\, \dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) = \dfrac{\omega}{2\lambda^2} \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t)
Ce qui nous donne bien la forme demandée :
∂T∂t(x ; t)=k∂2T∂x2(x ; t)       Avec:  k=ω2λ2{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) = k \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) }}} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{Avec :} \,\, k = \dfrac{\omega}{2\lambda^2}
Le nombre kk s'exprime en m2/s\mathrm{m^2/s} et s'appelle la diffusiviteˊ thermique{\textcolor{red}{\textbf{la diffusivité thermique}}}. Cette grandeur physique caractérise la capacité d'un matériau continu à transmettre un signal de température d'un point à un autre de ce matériau. Elle dépend de :
   ∙  \,\,\, \bullet \,\, la capacité du matériau à conduire la chaleur ; qui est représentée par sa conductivité thermique,
   ∙  \,\,\, \bullet \,\, et de sa capacité à accumuler la chaleur ; qui est représentée capacité thermique volumique.
L'équation trouvée s'appelle l’eˊquation de la chaleur{\color{red}{\textbf{l'équation de la chaleur}}} unidimensionnelle. Elle fait partie d'une immense catégorie d'équation qui porte le nom d’Equation aux Deˊriveˊes Partielles {\color{red}{\textbf{d'Equation aux Dérivées Partielles }}}, en abrégé EDP{\color{red}{\textbf{EDP}}}. La Physique est un réservoir extraordinaire d'EDP !