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Dérivations partielles en Physique - Exercice 1

15 min
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La réalité impose à la Physique, comme à la Chimie, l'usage des fonctions à plusieurs variable. Ceci explique l'extrême présence des dérivées partielles dans ces deux disciplines. En voici un exercice, à connotation thermodynamique, qui illustre nos propos.
La loi d'état des gaz parfait est :
PV=nRTPV = nRT
Dans cette équation PP est la pression du gaz, VV son volume, TT sa température absolue, et nn le nombre de moles qu'il contient. La constante R>0R>0 est la constante des gaz parfaits.
Question 1

Montrer que : ∂P∂V∂V∂T∂T∂P=−1\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = -1.

Correction
On a :
∂P∂V∂V∂T∂T∂P=∂∂V(nRTV)∂∂T(nRTP)∂∂P(PVnR)\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = \dfrac{\partial }{\partial V} \left( \dfrac{nRT}{V} \right) \dfrac{\partial }{\partial T} \left( \dfrac{nRT} {P} \right)\dfrac{\partial }{\partial P}\left( \dfrac{PV}{nR} \right)
Soit :
∂P∂V∂V∂T∂T∂P=nRT∂∂V(1V)nRP∂∂T(T)VnR∂∂P(P)\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = nRT \dfrac{\partial }{\partial V} \left( \dfrac{1}{V} \right) \dfrac{nR}{P} \dfrac{\partial }{\partial T} \left( T \right)\dfrac{V}{nR} \dfrac{\partial }{\partial P}\left( P \right)
D'où :
∂P∂V∂V∂T∂T∂P=nRT×−1V2×nRP×1×VnR×1\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = nRT \times -\dfrac{1}{V^2} \times \dfrac{nR}{P} \times 1 \times \dfrac{V}{nR} \times 1
Ainsi :
∂P∂V∂V∂T∂T∂P=nRT×−1V2×nRP×1×VnR×1\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = nRT \times -\dfrac{1}{V^2} \times \dfrac{nR}{P} \times 1 \times \dfrac{V}{nR} \times 1
Ce qui nous donne :
∂P∂V∂V∂T∂T∂P=−nRTPV=−nRTnRT\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = -\dfrac{nRT}{PV} = - \dfrac{nRT}{nRT}
Finalement, comme nRT≠0nRT \neq 0, on obtient alors :
∂P∂V∂V∂T∂T∂P=−1{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = - 1 }}}
Question 2

Montrer que pour un gaz parfait, on a : T∂P∂T∂V∂T=nRT \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T}= nR.

Correction
On a :
T∂P∂T∂V∂T=T∂∂T(nRTV)∂∂T(nRTP)T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = T \dfrac{\partial}{\partial T} \left( \dfrac{nRT}{V} \right)\dfrac{\partial }{\partial T} \left( \dfrac{nRT}{P} \right)
Soit :
T∂P∂T∂V∂T=TnRV∂∂T(T)nRP∂∂T(T)T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = T \dfrac{nR}{V}\dfrac{\partial}{\partial T} \left( T \right) \dfrac{nR}{P}\dfrac{\partial }{\partial T} \left( T \right)
D'où :
T∂P∂T∂V∂T=TnRV×1×nRP×1T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = T \dfrac{nR}{V} \times 1 \times \dfrac{nR}{P} \times 1
Ainsi :
T∂P∂T∂V∂T=TnRVnRP=nR×nRTPV=nRTnRT=nR×1      (nRT≠0)T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = T \dfrac{nR}{V} \dfrac{nR}{P} = nR \times \dfrac{nRT}{PV} = \dfrac{nRT}{nRT} = nR \times 1 \,\,\,\,\,\, \left( nRT \neq 0 \right)
Finalement, on obtient :
T∂P∂T∂V∂T=nR{\color{red}{\boxed{T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = nR }}}