Dérivabilité , Monotonie, Théorème de Rolle, Théorème des accroissements finis, Taylor-Lagrange
Dérivabilité, Monotonie, Théorème de Rolle, Théorème des accroissements finis, Taylor-Lagrange.
1−Fonctiondeˊrivable ∙Deˊfinition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre x0, on dit que f est deˊrivable en x0 si φ:h⟶hf(x0+h)−f(x0) admet une limite lorsque h⟶0. Lorsque cette limite existe elle est notée f′(x0) ou dxdf(x0) et s'appelle le nombre dérivé en x0. ∙Theˊoreˋme Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre x0, si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. ∙∙Deˊfinition Soit f une fonction définie sur un intervalle du type ]x0−α;x0] (respectivement [x0;x0+α]) où α>0, on dit que f est deˊrivableaˋgauche (respectivement aˋdroite) en x0 si φ:h⟶hf(x0+h)−f(x0) admet une limite lorsque h⟶0− (respectivement h⟶0+) de f en x0. Lorsque cette limite existe elle est notée fg′(x0) ou (dxdf)g(x0) (respectivement fd′(x0) ou (dxdf)d(x0)) et s'appelle le nombre dérivé à gauche (respectivement à droite). ∙∙Theˊoreˋme Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre x0. On dit que f est deˊrivable en x0 si et seulement si f admet, en x0, un nombre dérivé à gauche et un nombre dérivé à droite égaux. ∙∙∙Theˊoreˋme Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre x0. Soit g une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant f(x0) et dérivable en f(x0). Dans ce cas, on dit que g∘f est dérivable en x0, et : (g∘f)′(x0)=g′(f(x0))×f′(x0) où dxdg∘f(x0)=dxdg(f(x0))×dxdf(x0) ∙∙∙∙Theˊoreˋme Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert de centre x0. Dans ce cas f±g et fg sont dérivable en x0 et on a : ↬(f±g)′(x0)=f′(x0)+g′(x0) ↬(fg)′(x0)=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0) ↬ si f(x0)=0 alors f1 est définie dans un intervalle ouvert de centre x0 et f1 est dérivable en x0 avec (f1)′(x0)=−(f(x0))2f′(x0) ↬ si g(x0)=0 alors gf est définie dans un intervalle ouvert de centre x0 et gf est dérivable en x0 avec (ff)′(x0)=(g(x0))2f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0) ∙∙∙∙∙Theˊoreˋme Soit f une fonction dérivable et strictement sur un intervalle ouvert I. Sa bijection réciproque Rf (où f−1) est dérivable en tout point y0=f(x0) de f(I) tel que f′(x0)=0 et Rf′(y0)=f′(x0)1=f′(Rf(y0))1 Si f′ ne s'annule pas sur un intervalle J, inclus dans I, alors Rf est dérivable sur f(J). ∙∙∙∙∙∙Theˊoreˋme Soit f une fonction continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[. Si x⟶ax>alimf′(x)=+∞ alors x⟶ax>alimx−af(x)−f(a)=+∞. 2−Deˊriveˊessuccessives ∙Deˊfinition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. On note f(0)=f et f(1)=f′. Pour n⩾1, si f(n−1) est dérivable sur I, alors on définit la n-ième dérivée de f par : f(n)=(f(n−1))′. Soit n∈N. On dit que f est de classeCn sur I si f(n) existe et est continue sur l'intervalle I. On dit que f est de classeC∞ sur I si f est de classe Cn sur I pour tout n∈N. Ceci est équivalent à dire que f(n) existe pour tout n∈N. ∙Theˊoreˋme:formuledeLeibniz Soit n∈N. Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I admettant des dérivées n-ième sur I. Le projet fg admet une dérivée n-ième sur I dont l'expression est donnée par : (fg)(n)=k=0∑nCnkf(k)g(n−k) Avec : Cnk=(kn)=k!(n−k)!n!. ∙∙Theˊoreˋme Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit g une fonction définie sur un intervalle ouvert J contenant f(I). Soit n∈N. Si f est de classe Cn sur I et g de classe Cn sur J alors g∘f est de classe Cn sur I. ∙∙Deˊfinition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit n∈N. On dit que f est un Cndiffeˊomorphisme si f est une bijection et si f et Rf sont de classe Cn. ∙∙∙Theˊoreˋme Soit f une bijection sur un intervalle ouvert I. Soit n∈N. La bijection f est un Cndiffeˊomorphisme si et seulement si f est de classe Cnetf′ ne s'annule pas sur I. 3−TheˊoreˋmedeRolle&Theˊoreˋmedesaccroissementsfinis ∙TheˊoreˋmedeRolle Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a;b], dérivable sur ]a;b[, telle f(a)=f(b). Il existe un réel c appartenant à ]a;b[ tel que f′(c)=0. Ceci s'illustre par :
∙∙Theˊoreˋmedesaccroissementsfinis Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a;b], dérivable sur ]a;b[. Il existe un réel c appartenant à ]a;b[ tel que : f(b)−f(a)=(ba)f′(c) Ceci s'illustre par :
Le fait d'introduire la pente moyenne permet également d'écrire que : f′(c)=b−a1∫abf′(x)dx=f′ˉ[a;b] ∙∙∙Theˊoreˋmedel′ineˊgaliteˊdesaccroissementsfinis Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a;b], dérivable sur ]a;b[, tel que a<b. S'il existe deux nombres réels m et M tels que ∀x∈]a;b[,m⩽f′(x)⩽M alors m(b−a)⩽f(b)−f(a)⩽M(b−a) De plus, s'il existe un nombre réel k tel que ∀x∈]a;b[,∣f′(x)∣⩽k alors ∣f(b)−f(a)∣⩽k(b−a) Dans ce cas, on dit que f est k−lipschitzienne. 4−TheˊoreˋmedeTaylor&Lagrange Soit n un nombre entier naturel non nul. Soit f une fonction de classe Cn sur l'intervalle I=[a;b] et qui admet une dérivées d'ordre n+1. Il existe un nombre réel c qui appartient à l'intervalle ]a;b[ tel que : f(b)=f(a)+k=1∑nk!(b−a)kf(k)(a)+(n+1)!(b−a)n+1f(n+1)(c) 5−Monotonieetdeˊrivabiliteˊ ∙Theˊoreˋme Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. La fonction f est constante sur I si, et seulement si, sa fonction dérivée f′ est nulle sur I. La fonction f est croissante sur I si, et seulement si, sa fonction dérivée f′ est positive sur I. La fonction f est décroissante sur I si, et seulement si, sa fonction dérivée f′ est négative sur I. ∙∙Theˊoreˋme Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Si f′ est strictement positive (respectivement négative) sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur l'intervalle I. 6−Deˊriveˊesusuelles Si f(x)=xp alors f′(x)=pxp−1 sur le domaine R+⋆ avec p∈R Si f(x)=ex alors f′(x)=ex sur le domaine R Si f(x)=ln(∣x∣) alors f′(x)=x1 sur le domaine R⋆ Si f(x)=cosh(x) alors f′(x)=sinh(x) sur le domaine R Si f(x)=sinh(x) alors f′(x)=cosh(x) sur le domaine R Si f(x)=tanh(x) alors f′(x)=cosh2(x)1=1−tanh2(x) sur le domaine R Si f(x)=cotanh(x) alors f′(x)=−sinh2(x)1=1−cotanh2(x) sur le domaine R⋆ Si f(x)=cos(x) alors f′(x)=−sin(x) sur le domaine R Si f(x)=sin(x) alors f′(x)=cos(x) sur le domaine R Si f(x)=tan(x) alors f′(x)=cos2(x)1=1+tan2(x) pour x=2πmod[π] Si f(x)=cotan(x) alors f′(x)=−sin2(x)1=−1−cotan2(x) pour x=πmod[π] Si f(x)=argsinh(x) alors f′(x)=1+x21 sur le domaine R Si f(x)=argcosh(x) alors f′(x)=x2−11 sur le domaine ]1;+∞[ Si f(x)=argtanh(x) alors f′(x)=1−x21 sur le domaine ]−1;1[ Si f(x)=argcotanh(x) alors f′(x)=1−x21 sur le domaine ]−∞;−1[∪]1;+∞[ Si f(x)=arcsin(x) alors f′(x)=1−x21 sur le domaine ]−1;1[ Si f(x)=arccos(x) alors f′(x)=−1−x21 sur le domaine ]−1;1[ Si f(x)=arctan(x) alors f′(x)=1+x21 sur le domaine R Si f(x)=arccotan(x) alors f′(x)=−1+x21 sur le domaine R
Nous utilisons des cookies
Nous utilisons des cookies afin de personnaliser notre contenu, mesurer l'efficacité de nos publicités et améliorer leur pertinence, ainsi que proposer une meilleure expérience.
En cliquant sur Autoriser tous les cookies ou en activant une option dans Préférences de cookies, vous acceptez les conditions énoncées dans notre Politique de cookies.
Préférences de cookies
Utilisation des cookies
Lorsque vous consultez un site web, certaines informations peuvent être stockées ou récupérées, principalement sous la forme de cookies. Ces informations peuvent être relatives à vos préférences, à l'appareil que vous utilisez ou vous concerner personnellement. Elles sont principalement utilisées pour faire en sorte que le site fonctionne conformément à vos attentes. Elles ne permettent généralement pas de vous identifier directement, mais elles peuvent vous offrir une expérience de navigation plus personnalisée sur le site. Comme nous respectons votre droit à la vie privée, vous pouvez choisir de ne pas autoriser certains types de cookies. Cliquez sur les différents en-têtes de catégorie pour en savoir plus et modifier nos paramètres par défaut. Sachez toutefois que le blocage de certains types de cookies peut avoir un impact sur votre utilisation du site et sur les services que nous pouvons offrir.
Ces cookies sont nécessaires au fonctionnement du site web et ne peuvent être désactivés dans nos systèmes. Ils sont généralement uniquement déposés en réponse à des actions de votre part correspondant à une demande de services, comme définir vos préférences de confidentialité, vous connecter ou remplir des formulaires. Vous pouvez configurer votre navigateur pour qu'il bloque ces cookies ou vous signale leur présence, mais certaines parties du site risquent alors de ne pas fonctionner.
Nom
Domaine
Expiration
Description
_jem_at
jai20enmaths.com
1 jour
Enregistre un identifiant unique d'authentification permettant de maintenir la connexion de l'utilisateur à son compte sur la plateforme.
cc_cookie
jai20enmaths.com
6 mois
Enregistre les préférences de cookies du visiteur.
_hjAbsoluteSessionInProgress
jai20enmaths.com
30 minutes
Ce cookie est utilisé pour détecter la première session de consultation de page d'un utilisateur.
_hjIncludedInPageviewSample
jai20enmaths.com
30 minutes
Ce cookie est défini pour permettre à Hotjar de savoir si cet utilisateur est inclus dans l'échantillonage de données défini par la limite de pages vues du site
_hjid
jai20enmaths.com
1 an
Ce cookie est défini par Hotjar lorsque le client atterit pour la première fois sur le site. Il enregistre un identifiant unique permettant d'attribuer les visites ultérieures au même utilisateur
crisp-client/*
jai20enmaths.com
48 heures
Ces cookies sont définis par Crisp lorsque l'utilisateur utilise le tchat pour échanger avec un professeur. Il enregistre les informations techniques nécessaires à l'envoi et la réception des messages
Ces cookies nous permettent de compter le nombre de visites et de sources du trafic, afin de mesurer et d'améliorer les performances de notre site. Ils nous aident à savoir quelles pages sont plus ou moins fréquentées, et de quelle manière les visiteurs naviguent à travers le site. Si vous n'autorisez pas ces cookies, ils ne pourront pas être utilisés pour améliorer les performances du site.
Nom
Domaine
Expiration
Description
_ga
jai20enmaths.com
2 années
Enregistre un identifiant unique pour générer des données statistiques sur la façon dont le visiteur utilise le site.
_gat
jai20enmaths.com
1 jour
Utiliser par Google Analytics pour diminuer radicalement le taux de requêtes.
_gid
jai20enmaths.com
1 jour
Enregistre un identifiant unique pour générer des données statistiques sur la façon dont le visiteur utilise le site.
Ces cookies sont déposés sur notre site par nos partenaires publicitaires. Ils peuvent être utilisés par ces entreprises pour établir des profils en fonction de vos centres d'intérêt et vous présenter des publicités pertinentes sur d'autres sites. Ils fonctionnent grâce à l'identification de votre navigateur et de votre appareil uniquement. Si vous n'autorisez pas ces cookies, nos publicités ciblées ne s'afficheront pas sur différents sites web.
Nom
Domaine
Expiration
Description
_fbp
jai20enmaths.com
90 jours
Ce cookie est défini par Facebook pour diffuser de la publicité aux visiteurs du site lorsqu'ils sont sur Facebook ou sur une plateforme numérique alimentée par la publicité Facebook après avoir visité ce site web.
Plus d'informations
Retrouvez toutes les informations sur la gestion des cookies sur notre plateforme dans notre Politique des Cookies.