Calculs de dérivées : Pour se remettre en jambes :) - Exercice 2

On a :
$$f'(x) = \left(\sqrt{x^2-1}\right)' = \dfrac{(x^2-1)'}{2\sqrt{x^2-1}} = \dfrac{(x^2)'}{2\sqrt{x^2-1}} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} }}}$$

On a :
$$f(x) = \ln\left( \dfrac{x^2+1}{x^4+1} \right) = \ln(x^2+1) - \ln(x^4+1)$$
Donc :
$$f'(x) = \left(\ln(x^2+1) - \ln(x^4+1)\right)' = \left(\ln(x^2+1)\right)' - \left(\ln(x^4+1)\right)'$$
Soit :
$$f'(x) = \dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1} - \dfrac{(x^4+1)'}{x^4+1} = \dfrac{(x^2)'}{x^2+1} - \dfrac{(x^4)'}{x^4+1} = \dfrac{2x}{x^2+1} - \dfrac{4x^3}{x^4+1} = 2x \left( \dfrac{1}{x^2+1} - \dfrac{2x^2}{x^4+1} \right)$$
En réduisant au même dénominateur, on obtient :
$$f'(x) = 2x \left( \dfrac{x^4+1 - 2x^2(x^2+1)}{(x^2+1)(x^4+1)} \right) = 2x \left( \dfrac{x^4+1 - 2x^4 - 2x^2}{(x^2+1)(x^4+1)} \right) = 2x \left( \dfrac{-x^4 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)(x^4+1)} \right)$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = - \dfrac{2x\left(x^4 + 2x^2 - 1\right)}{(x^2+1)(x^4+1)} }}}$$

On a :
$$f'(x) = \left(3x\sin(4x^2+1)\right)' = 3 \times \left(x\sin(4x^2+1)\right)'$$
Soit :
$$f'(x) = 3 \times \left(x'\sin(4x^2+1) + x \left( \sin(4x^2+1) \right)'\right)$$
Ainsi :
$$f'(x) = 3 \times \left(1\sin(4x^2+1) + x (4x^2+1)' \sin'(4x^2+1) \right)$$
Donc :
$$f'(x) = 3 \times \left(\sin(4x^2+1) + x \times 8x \times \cos(4x^2+1) \right)$$
On obtient donc :
$$f'(x) = 3 \times \left(\sin(4x^2+1) + 8x^2 \cos(4x^2+1) \right)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = 3 \left( 8x^2 \cos(4x^2+1) + \sin(4x^2+1) \right) }}}$$

On a :
$$f'(x) = \left( \frac{1}{x^2}e^{-\frac{1}{x}} \right)' = \left( \frac{1}{x^2} \right)'e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^2} \left(e^{-\frac{1}{x}} \right)'$$
Soit :
$$f'(x) = -\frac{2}{x^3}e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^2} \times \left( -\frac{1}{x} \right)' e^{-\frac{1}{x}}$$
Ainsi :
$$f'(x) = -\frac{2}{x^3}e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^2} \times \frac{1}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = -\frac{2}{x^3}e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^4} e^{-\frac{1}{x}}$$
Soit encore :
$$f'(x) = -\frac{2x}{x^4}e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^4} e^{-\frac{1}{x}}$$
En factorisant :
$$f'(x) = \left(\frac{-2x+1}{x^4} \right) e^{-\frac{1}{x}}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = -\left(\frac{2x-1}{x^4} \right) e^{-\frac{1}{x}} }}}$$

On rappelle que, pour tout réel $$x \in \left]0;\frac{\pi}{2}\right[$$, on a : $$\left(\mathrm{tan} \left(x\right)\right)'=1+\mathrm{tan}^2 \left(x\right)=\frac{1}{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)}$$.
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=2\times\frac{-\left(\sqrt{{\mathrm{5}\mathrm{+}\mathrm{tan} \left(x\right)\ }}\right)'}{\left(\sqrt{{\mathrm{5}\mathrm{+}\mathrm{tan} \left(x\right)\ }}\right)^2}$$
$$f'\left(x\right)=-2\times \frac{\frac{1+{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }}{2\sqrt{{\mathrm{5}\mathrm{+}\mathrm{tan} \left(x\right)\ }}}}{{\mathrm{5}\mathrm{+}\mathrm{tan} \left(x\right)\ }}$$
Ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty\right[$$ .
$$f\left(x\right)=\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5x}}}$$ . Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{{\left(2+\sqrt{3+\sqrt{5x}}\right)}'}{2\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5x}}}}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{\frac{5}{2\sqrt{5x}}}{2\sqrt{3+\sqrt{5x}}}}{2\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5x}}}}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{5}{4\sqrt{5x}\sqrt{3+\sqrt{5x}}}}{2\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5x}}}}$$
Ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty\right[$$ .
$$f\left(x\right)={\mathrm{cos} \left(\frac{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}{x}\right)\ }$$
On a :
$$f'\left(x\right)=-\left(\frac{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}{x}\right)'{\mathrm{sin} \left(\frac{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}{x}\right)\ }$$
$$f'\left(x\right)=-\left(\frac{\frac{1}{x}\times x-{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\times 1}{x^2}\right){\mathrm{sin} \left(\frac{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}{x}\right)\ }$$
Ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty\right[$$ .
Soit $$f\left(x\right)=x^x$$ . Pour ce type de dérivée, si vous rencontrez des dérivées avec des puissances de $$x$$, il faut passer par les exponentielles et les logarithmes.
il vient alors que :
$$f\left(x\right)=e^{{\mathrm{ln} \left(x^x\right)\ }}$$
$$f\left(x\right)=e^{x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}$$
Nous pouvons maintenant calculer la dérivée de $$f$$.
$$f'\left(x\right)=\left(x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right)'e^{x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}$$
$$f'\left(x\right)=\left(1\times {\mathrm{ln} \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}\ }\right)e^{x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}$$
Ainsi :