Calculs de dérivées et de différentielles : Mise en pratique épisode 3 - Exercice 1

On a :
$$f(x) = x^{\cos(x)} = e^{\ln\left(x^{\cos(x)}\right)} = e^{\cos(x) \ln(x)}$$.
Donc :
$$f'(x) = \left(x^{\cos(x)}\right)' = \left( e^{\cos(x) \ln(x)} \right)' = \left( \cos(x) \ln(x) \right)' \times e^{\cos(x) \ln(x)}$$.
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \left( -\sin(x) \ln(x) + \cos(x)\dfrac{1}{x}\right) \times e^{\cos(x) \ln(x)}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \left( -\dfrac{1}{x}\sin(x) x\ln(x) + \cos(x)\dfrac{1}{x}\right) \times e^{\cos(x) \ln(x)}$$
Finalement, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = \dfrac{1}{x} \left( \cos(x) -\sin(x) x \ln(x) \right) e^{\cos(x) \ln(x)} = \dfrac{1}{x} \left( \cos(x) -\sin(x) x \ln(x) \right) x^{\cos(x)} }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \dfrac{1}{x} \left( \cos(x) -\sin(x) x \ln(x) \right) x^{\cos(x)} \, dx}}}$$

On a :
$$f(x) = x^{\frac{x}{\cos(x)}} = e^{\ln \left( x^{\frac{x}{\cos(x)}} \right)} = e^{\frac{x}{\cos(x)}\ln(x)}$$
Donc :
$$f'(x) = \left( e^{\frac{x}{\cos(x)}\ln(x)} \right)' = \left( \dfrac{x}{\cos(x)}\ln(x) \right)' \times e^{\frac{x}{\cos(x)}\ln(x)}$$
Avec :
$$\left( \dfrac{x}{\cos(x)}\ln(x) \right)' = \left( \dfrac{x}{\cos(x)} \right)'\ln(x) + \dfrac{x}{\cos(x)}\dfrac{1}{x} = \dfrac{\cos(x)-x\sin(x)}{\cos^2(x)} \ln(x) + \dfrac{1}{\cos(x)}$$
Soit :
$$\left( \dfrac{x}{\cos(x)}\ln(x) \right)' = \dfrac{1}{\cos(x)}\left(\dfrac{\cos(x)-x\sin(x)}{\cos(x)} \ln(x) + 1 \right)$$
Ce qui nous permet d'obtenir :
$$f'(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}\left(\dfrac{\cos(x)-x\sin(x)}{\cos(x)} \ln(x) + 1 \right) \times e^{\frac{x}{\cos(x)}\ln(x)}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}\left( \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(x)} - x\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right) \ln(x) + 1 \right) \times e^{\frac{x}{\cos(x)}\ln(x)}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}\left( \left(1 - x\tan(x) \right) \ln(x) + 1 \right) \times e^{\frac{x}{\cos(x)}\ln(x)}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = \dfrac{1 + \left(1 - x\tan(x) \right) \ln(x) }{\cos(x)} e^{\frac{x}{\cos(x)}\ln(x)} = \dfrac{1 + \left(1 - x\tan(x) \right) \ln(x) }{\cos(x)} x^{\frac{x}{\cos(x)}}}}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \dfrac{1 + \left(1 - x\tan(x) \right) \ln(x) }{\cos(x)} x^{\frac{x}{\cos(x)}} \, dx}}}$$

On a :
$$f(x) = \cos(x)^{\sin(x)} = e^{\ln\left( \cos(x)^{\sin(x)} \right)} = e^{\sin(x)\ln\left( \cos(x) \right)}$$
Donc :
$$f'(x) = \left(e^{\sin(x)\ln\left( \cos(x) \right)} \right)' = \left(\sin(x)\ln\left( \cos(x) \right) \right)' \times e^{\sin(x)\ln\left( \cos(x) \right)}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \left(\cos(x)\ln\left( \cos(x) \right) + \sin(x) \left( \ln\left( \cos(x) \right) \right)'\right) \times e^{\sin(x)\ln\left( \cos(x) \right)}$$
De plus :
$$\left( \ln\left( \cos(x) \right) \right)' = \dfrac{\cos'(x)}{\cos(x)} = -\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = - \tan(x)$$
On obtient alors :
$$f'(x) = \left(\cos(x)\ln\left( \cos(x) \right) - \sin(x) \tan(x) \right) \times e^{\sin(x)\ln\left( \cos(x) \right)}$$
Finalement, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = \left(\cos(x)\ln\left( \cos(x) \right) - \sin(x) \tan(x) \right) e^{\sin(x)\ln\left( \cos(x) \right)} = \left(\cos(x)\ln\left( \cos(x) \right) - \sin(x) \tan(x) \right) \cos(x)^{\sin(x)} }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \left(\cos(x)\ln\left( \cos(x) \right) - \sin(x) \tan(x) \right) \cos(x)^{\sin(x)} \, dx}}}$$

On a :
$$f(x) = \left(\cos\left(x^{\sin(x)} \right)\right)' = \left( x^{\sin(x)} \right)' \times \cos'\left(x^{\sin(x)} \right) = - \left( x^{\sin(x)} \right)' \times \sin\left(x^{\sin(x)} \right)$$
Avec :
$$\left( x^{\sin(x)} \right)' = \left( e^{\ln \left( x^{\sin(x)}\right)} \right)' = \left( e^{\sin(x)\ln \left( x\right)} \right)' = \left( \sin(x)\ln \left( x\right) \right)' \times e^{\sin(x)\ln \left( x\right)}$$
Ce qui nous donne :
$$\left( x^{\sin(x)} \right)' = \left( \cos(x)\ln \left( x\right) + \dfrac{\sin(x)}{x}\right) \times e^{\sin(x)\ln \left( x\right)} = \left( \cos(x)\ln \left( x\right) + \dfrac{\sin(x)}{x}\right) x^{\sin(x)}$$
Ainsi on trouve que :
$$f(x) = - \left( \cos(x)\ln \left( x\right) + \dfrac{\sin(x)}{x}\right) x^{\sin(x)} \times \sin\left(x^{\sin(x)} \right)$$
Finalement, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = - \left( \dfrac{x\cos(x)\ln \left( x\right) +\sin(x)}{x}\right) x^{\sin(x)} \sin\left(x^{\sin(x)} \right) }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = - \left( \dfrac{x\cos(x)\ln \left( x\right) +\sin(x)}{x}\right) x^{\sin(x)} \sin\left(x^{\sin(x)} \right) \, dx}}}$$