On a :
f(x)=xcos(x)x=eln(xcos(x)x)=ecos(x)xln(x)Donc :
f′(x)=(ecos(x)xln(x))′=(cos(x)xln(x))′×ecos(x)xln(x)Avec :
(cos(x)xln(x))′=(cos(x)x)′ln(x)+cos(x)xx1=cos2(x)cos(x)−xsin(x)ln(x)+cos(x)1Soit :
(cos(x)xln(x))′=cos(x)1(cos(x)cos(x)−xsin(x)ln(x)+1)Ce qui nous permet d'obtenir :
f′(x)=cos(x)1(cos(x)cos(x)−xsin(x)ln(x)+1)×ecos(x)xln(x)Soit encore :
f′(x)=cos(x)1((cos(x)cos(x)−xcos(x)sin(x))ln(x)+1)×ecos(x)xln(x)Ce qui nous donne :
f′(x)=cos(x)1((1−xtan(x))ln(x)+1)×ecos(x)xln(x)Finalement, on trouve que :
f′(x)=cos(x)1+(1−xtan(x))ln(x)ecos(x)xln(x)=cos(x)1+(1−xtan(x))ln(x)xcos(x)xOn a alors :
f′(x)=dxdf(x)En faisant usage de l'écriture de
Leibniz, on peut donc écrire que :
df(x)=f′(x)dxAinsi, la différentielle de
f est donnée par l'expression suivante :
df(x)=cos(x)1+(1−xtan(x))ln(x)xcos(x)xdx