La définition du nombre dérivé fait apparaître une limite. C'est en ce sens que cette notion de nombre dérivé permet de déterminer la valeur de certaine limite. C'est donc très souvent des jeux d'écritures. L'exercice qui suit vous permet de travailler cela.
Question 1
Déterminer la limite suivante : x⟶2πlimx−2πcos(x).
Correction
On a : x⟶2πlimx−2πcos(x)=x⟶2πlimx−2πcos(x)−0=x⟶2πlimx−2πcos(x)−cos(2π). On en déduit que : x⟶2πlimx−2πcos(x)=cos′(x)x=2π=−sin(2π) Finalement : x⟶2πlimx−2πcos(x)=−1
Question 2
Déterminer la limite suivante : x⟶πlimx2−π2sin(x).
Correction
On a : x⟶πlimx2−π2sin(x)=x⟶πlim(x−π)(x+π)sin(x)=x⟶πlim(x−π)(x+π)sin(x)−0=x⟶πlim(x−π)(x+π)sin(x)−sin(π) Soit : x⟶πlimx2−π2sin(x)=x⟶πlimx−πsin(x)−sin(π)×x+π1=(x⟶πlimx−πsin(x)−sin(π))×π+π1 Soit encore : x⟶πlimx2−π2sin(x)=2π1×(x⟶πlimx−πsin(x)−sin(π))=2π1×sin′(x)x=π Ce qui nous donne : x⟶πlimx2−π2sin(x)=2π1×cos(π)=2π1×(−1) Finalement : x⟶πlimx2−π2sin(x)=−2π1
Question 3
Déterminer la limite suivante : x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π).
Correction
On a : x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π)=x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π)−0=x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π)−sin(π) Soit : x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π)=x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π)−sin(33π)=x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π)−sin(23π+3π) On en déduit alors que : x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π)=(sin(2x+3π))x=3π′ On a donc : x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π)=2cos(23π+3π)=2cos(33π)=2cos(π)=2×(−1) Finalement : x⟶3πlimx−3πsin(2x+3π)=−2
Question 4
Soit a un nombre réel non nul. Déterminer la limite suivante : x⟶alimx2−a2cos(ax)−cos(a2).
Correction
On a : x⟶alimx2−a2cos(ax)−cos(a2)=x⟶alim(x−a)(x+a)cos(ax)−cos(a2)=x⟶alimx−acos(ax)−cos(a2)×x+a1 Soit : x⟶alimx2−a2cos(ax)−cos(a2)=x⟶alimx−acos(ax)−cos(a2)×a+a1 Soit encore : x⟶alimx2−a2cos(ax)−cos(a2)=2a1×x⟶alimx−acos(ax)−cos(a2) D'où : x⟶alimx2−a2cos(ax)−cos(a2)=2a1×(cos(ax))x=a′ Donc : x⟶alimx2−a2cos(ax)−cos(a2)=2a1×−a(sin(aa))=−21sin(aa) Finalement : x⟶alimx2−a2cos(ax)−cos(a2)=−21sin(a2)
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