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Calcul de limite - Exercice 1

45 min
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La définition du nombre dérivé fait apparaître une limite. C'est en ce sens que cette notion de nombre dérivé permet de déterminer la valeur de certaine limite. C'est donc très souvent des jeux d'écritures. L'exercice qui suit vous permet de travailler cela.
Question 1

Déterminer la limite suivante : lim⁡x ⟶ π2cos⁡(x)x−π2\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(x)}{x - \dfrac{\pi}{2}}.

Correction
On a :
lim⁡x ⟶ π2cos⁡(x)x−π2=lim⁡x ⟶ π2cos⁡(x)−0x−π2=lim⁡x ⟶ π2cos⁡(x)−cos⁡(π2)x−π2\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(x)}{x - \dfrac{\pi}{2}} = \lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(x) - 0}{x - \dfrac{\pi}{2}} = \lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(x) - \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{x - \dfrac{\pi}{2}}.
On en déduit que :
lim⁡x ⟶ π2cos⁡(x)x−π2=cos⁡′(x)x=π2=−sin⁡(π2)\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(x)}{x - \dfrac{\pi}{2}} = \cos'\left(x\right)_{x=\frac{\pi}{2}} = - \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)
Finalement :
lim⁡x ⟶ π2cos⁡(x)x−π2=−1{\color{red}{\boxed{\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(x)}{x - \dfrac{\pi}{2}} = -1}}}
Question 2

Déterminer la limite suivante : lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)x2−π2\lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x)}{x^2 - \pi^2}.

Correction
On a :
lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)x2−π2=lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)(x−π)(x+π)=lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)−0(x−π)(x+π)=lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)−sin⁡(π)(x−π)(x+π)\lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x)}{x^2 - \pi^2} = \lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x)}{(x - \pi) (x + \pi)} = \lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x) - 0}{(x - \pi) (x + \pi)} = \lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x) - \sin(\pi)}{(x - \pi) (x + \pi)}
Soit :
lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)x2−π2=lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)−sin⁡(π)x−π×1x+π=(lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)−sin⁡(π)x−π)×1π+π\lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x)}{x^2 - \pi^2} = \lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x) - \sin(\pi)}{x - \pi} \times \dfrac{1}{x + \pi} = \left( \lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x) - \sin(\pi)}{x - \pi} \right) \times \dfrac{1}{\pi + \pi}
Soit encore :
lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)x2−π2=12π×(lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)−sin⁡(π)x−π)=12π×sin⁡′(x)x=π\lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x)}{x^2 - \pi^2} = \dfrac{1}{2\pi} \times \left( \lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x) - \sin(\pi)}{x - \pi} \right) = \dfrac{1}{2\pi} \times \sin'(x)_{x=\pi}
Ce qui nous donne :
lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)x2−π2=12π×cos⁡(π)=12π×(−1)\lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x)}{x^2 - \pi^2} = \dfrac{1}{2\pi} \times \cos(\pi) = \dfrac{1}{2\pi} \times (-1)
Finalement :
lim⁡x ⟶ πsin⁡(x)x2−π2=−12π{\color{red}{\boxed{\lim_{x \, \longrightarrow \, \pi} \dfrac{\sin(x)}{x^2 - \pi^2} = - \dfrac{1}{2\pi}}}}
Question 3

Déterminer la limite suivante : lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)x−π3\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)}{x - \dfrac{\pi}{3}}.

Correction
On a :
lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)x−π3=lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)−0x−π3=lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)−sin⁡(π)x−π3\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)}{x - \dfrac{\pi}{3}} = \lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) - 0}{x - \dfrac{\pi}{3}} = \lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) - \sin(\pi)}{x - \dfrac{\pi}{3}}
Soit :
lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)x−π3=lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)−sin⁡(3π3)x−π3=lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)−sin⁡(2π3+π3)x−π3\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)}{x - \dfrac{\pi}{3}} = \lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\dfrac{3\pi}{3}\right)}{x - \dfrac{\pi}{3}} = \lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) - \sin\left(2\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right)}{x - \dfrac{\pi}{3}}
On en déduit alors que :
lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)x−π3=(sin⁡(2x+π3))x=π3′\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)}{x - \dfrac{\pi}{3}} = \left(\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)\right)'_{x = \frac{\pi}{3}}
On a donc :
lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)x−π3=2cos⁡(2π3+π3)=2cos⁡(3π3)=2cos⁡(π)=2×(−1)\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)}{x - \dfrac{\pi}{3}} = 2\cos\left(2\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\dfrac{3\pi}{3}\right) = 2 \cos(\pi) = 2 \times (-1)
Finalement :
lim⁡x ⟶ π3sin⁡(2x+π3)x−π3=−2{\color{red}{\boxed{\lim_{x \, \longrightarrow \,\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)}{x - \dfrac{\pi}{3}} = - 2}}}
Question 4

Soit aa un nombre réel non nul. Déterminer la limite suivante : lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x2−a2\lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x^2 - a^2}.

Correction
On a :
lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x2−a2=lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)(x−a)(x+a)=lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x−a×1x+a\lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x^2 - a^2} = \lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{(x - a)(x+a)} = \lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x - a} \times \dfrac{1}{x+a}
Soit :
lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x2−a2=lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x−a×1a+a\lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x^2 - a^2} = \lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x - a} \times \dfrac{1}{a+a}
Soit encore :
lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x2−a2=12a×lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x−a\lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a} \times\lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x - a}
D'où :
lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x2−a2=12a×(cos⁡(ax))x=a′\lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a} \times \left(\cos(ax)\right)'_{x=a}
Donc :
lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x2−a2=12a×−a(sin⁡(aa))=−12sin⁡(aa)\lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a} \times -a\left(\sin(aa)\right) = -\dfrac{1}{2} \sin(aa)
Finalement :
lim⁡x ⟶ acos⁡(ax)−cos⁡(a2)x2−a2=−12sin⁡(a2){\color{red}{\boxed{\lim_{x \, \longrightarrow \,a} \dfrac{\cos(ax) - \cos(a^2)}{x^2 - a^2} = - \dfrac{1}{2} \sin(a^2) }}}