Autour du théorème des accroissements finis - Exercice 1

La fonction $$g$$, de par sa définition, est une fonction de classe $$C^1$$ sur l'intervalle fermé $$[a \,;\, b]$$.
La fonction $$g$$ admet une dérivée seconde $$g''$$ sur l'intervalle ouvert $$]a \,;\, b[$$.
On constate que :
$$g(0) = g \left( \dfrac{b-a}{2} \right)$$
Donc, selon l'indication de l'exercice, on en déduit que :
$$g(0) = g \left( \dfrac{b-a}{2} \right) = 0$$
Dès lors, le théorème de $$Rolle$$ appliqué à $$g$$ sur l'intervalle $$\left[ 0 \,;\, \dfrac{b-a}{2} \right]$$ nous assure l'exitence d'un nombre réel $$e$$ appartenant à l'intervalle $$\left] 0 \,;\, \dfrac{b-a}{2} \right[$$ tel que $$g'(e) = 0$$.
Mais, on sait que sur l'intervalle fermé $$[a \,;\, b]$$ on a :
$$g(x) = f\left( \dfrac{a+b}{2} - x\right) - 2f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) + f\left( \dfrac{a+b}{2} + x\right) - Ax^2$$
Donc sur l'intervalle fermé $$[a \,;\, b]$$ on a :
$$g'(x) = f'\left( \dfrac{a+b}{2} - x\right) - 2f'\left( \dfrac{a+b}{2} \right) + f'\left( \dfrac{a+b}{2} + x\right) - 2Ax$$
Soit encore :
$$g'(x) = f'\left( \dfrac{a+b}{2} - x\right) + f'\left( \dfrac{a+b}{2} + x\right) - 2Ax$$
Comme $$g'(e) = 0$$ on peut donc écrire :
$$g'(e) = f'\left( \dfrac{a+b}{2} - e\right) + f'\left( \dfrac{a+b}{2} + e\right) - 2Ae = 0$$
Ce qui nous donne :
$$2Ae = f'\left( \dfrac{a+b}{2} - e\right) + f'\left( \dfrac{a+b}{2} + e\right)$$
La fonction dérivée $$f'$$ est, par hypothèse, continue sur l'intervalle $$\left[ \dfrac{a+b}{2} - e \,;\, \dfrac{a+b}{2} + e \right]$$ et dérivable sur l'intervalle $$\left] \dfrac{a+b}{2} - e \,;\, \dfrac{a+b}{2} + e \right[$$.
Le $${\color{red}{\bf{théorème \,\, des \,\, accroissement \,\, finis}}}$$ appliqué à la fonction dérivée $$f'$$ sur l'intervalle $$\left[ \dfrac{a+b}{2} - e \,;\, \dfrac{a+b}{2} + e \right]$$ nous assure l'exitence d'un nombre réel $$c \in \left] \dfrac{a+b}{2} - e \,;\, \dfrac{a+b}{2} + e \right[$$ tel que :
$$f'\left( \dfrac{a+b}{2} - e\right) + f'\left( \dfrac{a+b}{2} + e\right) = \left( \dfrac{a+b}{2} + e - \left( \dfrac{a+b}{2} - e \right)\right) \big(f'\big)'(c)$$
Soit :
$$f'\left( \dfrac{a+b}{2} - e\right) + f'\left( \dfrac{a+b}{2} + e\right) = \left( \dfrac{a+b}{2} + e - \dfrac{a+b}{2} + e \right) f''(c)$$
Soit encore :
$$f'\left( \dfrac{a+b}{2} - e\right) + f'\left( \dfrac{a+b}{2} + e\right) = \left( 2e \right) f''(c)$$
Ainsi, on en déduit immédiatement l'égalité suivante :
$$2Ae = 2ef''(c)$$
En simplifiant par $$>2e \neq 0$$, on trouve que :
$$A = f''(c)$$
Donc l'expression de $$g(x)$$ devient :
$$g(x) = f\left( \dfrac{a+b}{2} - x\right) - 2f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) + f\left( \dfrac{a+b}{2} + x\right) - f''(c)x^2$$
La condition $$g\left( \dfrac{b-a}{2} \right) = 0$$ nous donne alors :
$$f\left( \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{b-a}{2} \right) - 2f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) + f\left( \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{b-a}{2} \right) - f''(c)\left( \dfrac{b-a}{2} \right)^2$$
Ce qui nous donne :
$$f\left( \dfrac{a+b-(b-a)}{2} \right) - 2f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) + f\left( \dfrac{a+b+b-a}{2} \right) - f''(c)\left( \dfrac{b-a}{2} \right)^2$$
Soit :
$$f\left( \dfrac{a+b-b+a}{2} \right) - 2f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) + f\left( \dfrac{a+b+b-a}{2} \right) - f''(c)\dfrac{(b-a)^2}{4}$$
Soit encore :
$$f\left( \dfrac{2a}{2} \right) - 2f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) + f\left( \dfrac{2b}{2} \right) - f''(c)\dfrac{(b-a)^2}{4}$$
D'où :
$$f\left( a \right) - 2f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) + f\left( b \right) - f''(c)\dfrac{(b-a)^2}{4}$$
Or, on constate que l'intervalle ouvert $$\left] \dfrac{a+b}{2} - e \,;\, \dfrac{a+b}{2} + e \right[$$, qui contient le nombre réel $$c$$, est inclus dans l'intervalle ouvert$$]a \,;\, b[$$.
Finalement, il existe bien un nombre réel $$c$$ appartenant à l'intervalle ouvert $$]a \,;\, b[$$ tel que :
$$f(a) - 2f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) + f(b) = \dfrac{(b-a)^2}{4} f''(c)$$