Autour du théorème de Rolle - Exercice 1

$$f$$ est une fonction polynomiale. Ainsi :

$$f$$ est définie et continue sur un intervalle $$\left[1;2\right]$$

$$f$$ est dérivable sur $$\left]1;2\right[$$

$$f\left(1\right)=f\left(2\right)=0$$

D'après le théorème de Rolle, il existe au moins un réel $$c \in \left]1;2\right[$$ tel que $$f'\left(c\right)=0$$ .
Nous venons de montrer que $$f'$$ s’annule au moins une fois sur l'intervalle $$\left]1;2\right[$$ .

Soit $$a$$ un réel.
Pour tout réel $$x$$, on vérifie aisément que $${\sin}^2\left(2x\right)+5>0$$.
$$f$$ est donc définie et continue sur $$\mathbb{R}$$ et par restriction, $$f$$ est définie et continue sur $$\left]a;c\right[$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et par restriction, $$f$$ est dérivable sur $$\left]a;a+\pi\right[$$ .
De plus :
$$f\left(a+\pi\right)=\frac{3{\mathrm{sin} \left(2\times\left(a+\pi\right)\right)\ }{\mathrm{cos} \left(4\times\left(a+\pi\right)\right)\ }}{{\sin}^2\left(2\times\left(a+\pi\right)\right)+5}$$
$$f\left(a+\pi\right)=\frac{3{\mathrm{sin} \left(2a+2\pi\right)\ }{\mathrm{cos} \left(4a+4\pi\right)\ }}{{\sin}^2\left(2a+2\pi\right)+5}$$
$$f\left(a+\pi\right)=\frac{3{\mathrm{sin} \left(2a\right)\ }{\mathrm{cos} \left(4a\right)\ }}{{\sin}^2\left(2a\right)+5}$$
Ainsi : $$f\left(a+\pi\right)=f\left(a\right)$$
D'après le théorème de Rolle, il existe au moins un réel $$c \in \left]a;a+\pi\right[$$ tel que $$f'\left(c\right)=0$$ .
Nous venons de montrer que $$f'$$ s’annule au moins une fois sur l'intervalle $$\left]a;a+\pi\right[$$ .