Autour de la formule de Taylor - Exercice 1

Pour démontrer que la fonction $$g$$ est de classe $$C^1$$ sur $$\mathbb{R}$$, nous devons montrer que $$g$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$, puis que $$g'$$ est continue sur $$\mathbb{R}$$.
Lorsque $$x \neq 0$$ la fonction $$g$$ est clairement continue. Puis, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0)$$
Mais, par définition de $$g$$, on sait que $$g(0) = f'(0)$$, donc on peut écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g(x) = g(0)$$
Et ceci n'est autre que la définition de la continuité de $$g$$ e $$0$$.
Finalement, $$g$$ est continue sur $$\mathbb{R}$$.
Lorsque $$x \neq 0$$ la fonction $$g$$ est clairement dérivable, et on a :
$$\forall x \in \mathbb{R}^\star, \,\, g'(x) = \left( \dfrac{f(x) - f(0)}{x} \right)' = \dfrac{\big(f(x) - f(0)\big)'x - \big(f(x) - f(0)\big)x'}{x^2}$$
Soit :
$$\forall x \in \mathbb{R}^\star, \,\, g'(x) = \dfrac{xf'(x) - \big(f(x) - f(0)\big)}{x^2}$$
Soit encore :
$$\forall x \in \mathbb{R}^\star, \,\, g'(x) = \dfrac{f'(x)}{x} - \dfrac{f(x) - f(0)}{x^2}$$
Donc la fonction dérivée $$g'$$ est continue lorsque $$x \neq 0$$.
Afin d'étudier la continuité de $$g'$$ en $$0$$, étudions la limite suivante :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g'(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{f'(x)}{x} - \dfrac{f(x) - f(0)}{x^2} \right)$$
Soit :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g'(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{f'(x) - f'(0)}{x} - \dfrac{f(x) - f(0) - xf'(0)}{x^2} \right)$$
Appliquons, sur l'intervalle $$[0 \,;\,x]$$, la relation de $$Taylor-Lagrange$$ à l'ordre $$1$$ à la fonction $$f$$. Cela nous assure l'existence d'un réel $$c \in ]0 \,;\,x[$$ tel que :
$$f(x) = f(0) + (x-0) f'(0) + \dfrac{1}{2}(x-0)^2 f''(c)$$
Soit :
$$f(x) = f(0) + xf'(0) + \dfrac{1}{2}x^2 f''(c)$$
Soit encore :
$$f(x) - f(0) - xf'(0) = \dfrac{1}{2}x^2 f''(c)$$
Donc on peut donc écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g'(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{f'(x) - f'(0)}{x} - \dfrac{\dfrac{1}{2}x^2 f''(c)}{x^2} \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g'(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{f'(x) - f'(0)}{x} - \dfrac{1}{2} f''(c) \right)$$
Nous allons donc écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g'(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f'(x) - f'(0)}{x} - \dfrac{1}{2} \lim_{x \longrightarrow 0} f''(c)$$
Or, $$c \in ]0 \,;\,x[$$, donc lorsque $$x \longrightarrow 0$$ on a $$\lim_{x \longrightarrow 0} c = 0$$, et de fait $$\lim_{x \longrightarrow 0} f''(c) = f''(0)$$. D'où :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g'(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f'(x) - f'(0)}{x} - \dfrac{1}{2} f''(0) = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f'(x) - f'(0)}{x-0} - \dfrac{1}{2} f''(0)$$
Par hypothèse, $$f$$ admet une dérivée seconde continue en $$0$$. Donc $$f'$$ est dérivable en $$0$$, et de fait $$f''(0)$$ existe. Ainsi :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f'(x) - f'(0)}{x-0} = f''(0)$$
Ainsi, on obtient :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g'(x) = f''(0) - \dfrac{1}{2} f''(0)$$
Soit :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g'(x) = \dfrac{1}{2} f''(0)$$
Donc $$g$$ est dérivable en $$0$$, et de fait devient dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Posons $$g'(0) = \dfrac{1}{2} f''(0)$$, et on aboutit à :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} g'(x) = g'(0)$$
Donc la fonction dérivée $$g'$$ est continue lorsque $$x = 0$$. Ainsi la fonction dérivée $$g'$$ existe sur $$\mathbb{R}$$ et y est continue.
En conclusion $$g$$ est de classe $$C^1$$ sur $$\mathbb{R}$$.
$${\color{blue}{\clubsuit \,\, \bf{Remarque :}}}$$
Afin de démontrer que $$g$$ est dérivable en $$0$$, nous aurions également pu étudier la limite suivante :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g(x) - g(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{f(x) - f(0)}{x} - f'(0)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x) - f(0) - xf'(0)}{x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}x^2 f''(c)}{x^2}$$
Comme $$x \longrightarrow 0$$ cela signifie que $$x \neq 0$$, et de fait il est alors possible de simplifier par $$x^2$$. Donc :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g(x) - g(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2} f''(c)}{1} = \dfrac{1}{2} \lim_{x \longrightarrow 0} f''(c)$$
Or, $$c \in ]0 \,;\,x[$$, donc lorsque $$x \longrightarrow 0$$ on a $$\lim_{x \longrightarrow 0} c = 0$$, et de fait $$\lim_{x \longrightarrow 0} f''(c) = f''(0)$$. D'où :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g(x) - g(0)}{x-0} = \dfrac{1}{2} f''(0)$$
Par hypothèse, $$f$$ admet une dérivée seconde continue en $$0$$. Donc $$f'$$ est dérivable en $$0$$, et de fait $$f''(0)$$ existe. Ainsi $$\dfrac{1}{2} f''(0) \in \mathbb{R}$$. Donc, on peut donc affirmer que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g(x) - g(0)}{x-0} = \dfrac{1}{2} f''(0) = g'(0) \in \mathbb{R}$$
Donc $$g$$ est bien dérivable en $$0$$.