Utiliser l’inverse d’une matrice pour résoudre un système linéaire $$AX=B\Longleftrightarrow X=A^{-1}B$$ - Exercice 1

Posons $$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ ; $$X=\left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)$$ et $$Y=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$ .
L'écriture matricielle du système est : $$AX=Y$$ .
Dans un premier temps, il faut calculer la matrice inverse de $$A$$.
Soit $$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$. Il vient que : $$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{3}{2}\end{array}\right)$$
Il vient alors que :
$$AX=Y\Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}Y$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow I_3X=A^{-1}Y$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow X=A^{-1}Y$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 &\frac{3}{2} \end{array}\right)\left( \begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right)$$
Le triplet solution du système est alors :

Posons $$A=\left( \begin{array}{ccc}-1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{array}\right)$$ ; $$X=\left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)$$ et $$Y=\left(\begin{array}{c}7 \\ 9 \\ -5 \end{array}\right)$$ .
L'écriture matricielle du système est : $$AX=Y$$ .
Dans un premier temps, il faut calculer la matrice inverse de $$A$$.
Soit $$A=\left( \begin{array}{ccc}-1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{array}\right)$$. Il vient que : $$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc}-\frac{1}{12} & \frac{1}{3} & \frac{1}{12}\\ \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{7}{12} & -\frac{1}{3} & \frac{5}{12}\end{array}\right)$$
Il vient alors que :
$$AX=Y\Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}Y$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow I_3X=A^{-1}Y$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow X=A^{-1}Y$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}-\frac{1}{12} & \frac{1}{3} & \frac{1}{12}\\ \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{7}{12} & -\frac{1}{3} & \frac{5}{12}\end{array}\right)\left( \begin{array}{c}7 \\ 9 \\ -5 \end{array}\right)$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right)$$
Le triplet solution du système est alors :

Posons $$A=\left( \begin{array}{ccc}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 2 \end{array}\right)$$ ; $$X=\left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)$$ et $$Y=\left(\begin{array}{c}-3 \\ \frac{5}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{array}\right)$$ .
L'écriture matricielle du système est : $$AX=Y$$ .
Dans un premier temps, il faut calculer la matrice inverse de $$A$$.
Soit $$A=\left( \begin{array}{ccc}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 2 \end{array}\right)$$. Il vient que : $$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc}-14 & -16 & 3\\ -20 & -23 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{array}\right)$$
Il vient alors que :
$$AX=Y\Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}Y$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow I_3X=A^{-1}Y$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow X=A^{-1}Y$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}-14 & -16 & 3\\ -20 & -23 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{array}\right)\left( \begin{array}{c}-3 \\ \frac{5}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{array}\right)$$
$$AX=Y\Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0\end{array}\right)$$
Le triplet solution du système est alors :