Sujet $$3$$ - Exercice 1

Notons par $$\mathbb{I}_n$$ la matrice carrée de taille $$(n\,;\,n)$$ qui a tous ces éléments égal à $$1$$.
Dans ce cas, on a :
$$A = a\mathbb{I}_n + bI_n$$
De fait, on a :
$$A^2 = A \times A = (a\mathbb{I}_n + bI_n) \times (a\mathbb{I}_n + bI_n) = a^2\mathbb{I}_n^2 + ab\mathbb{I}_n I_n + ba I_n \mathbb{I}_n + b^2I_n^2 = a^2\mathbb{I}_n^2 + ab\mathbb{I}_n + ba\mathbb{I}_n + b^2I_n^2$$
Donc on obtient :
$$A^2 = a^2\mathbb{I}_n^2 + ab\mathbb{I}_n + ab\mathbb{I}_n + b^2I_n^2$$
Soit (avec $$I_n^2 = I_n$$) :
$$A^2 = A \times A = a^2\mathbb{I}_n^2 + 2ab \mathbb{I}_n + b^2I_n$$
De plus, on a :
$$\mathbb{I}_n^2 = \mathbb{I}_n \times \mathbb{I}_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & 1 &\cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & 1 &\cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n & n &\cdots & n \\ n & n &\cdots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & 1 & \cdots & n \end{pmatrix} = n \begin{pmatrix} 1 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & 1 &\cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$
Donc :
$$\mathbb{I}_n^2 = n\mathbb{I}_n$$
Ainsi :
$$A^2 = a^2n\mathbb{I}_n + 2ab \mathbb{I}_n + b^2I_n \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A^2 = an a\mathbb{I}_n + 2b a\mathbb{I}_n + b^2I_n \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A^2 = (an + 2b) a\mathbb{I}_n + b^2I_n$$
De plus, on sait que $$A = a\mathbb{I}_n + bI_n$$. Donc $$a\mathbb{I}_n = A - bI_n$$. Ainsi :
$$A^2 = (an + 2b)(A - bI_n) + b^2I_n$$
Dès lors :
$$A^2 = (na + 2b)A - (na + 2b)bI_n + b^2I_n \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A^2 = (na + 2b)A + (-(na + 2b) + b)bI_n$$
Donc :
$$A^2 - (na + 2b)A = (-na - 2b + b)bI_n \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A^2 - (na + 2b)AI_n = (-na - b)bI_n$$
Donc, on obtient :
$$A \big( A - (na + 2b)I_n \big) = -(na + b)bI_n \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A \times \big( A - (na + 2b)I_n \big) = -(na + b)bI_n$$
Soit :
$$A \times \dfrac{-1}{b(na+b)} \big( A - (na+2b)I_n \big) = I_n$$
Afin que la matrice $$A$$ soit inversible, nous devons avoir la condition $${\color{red}{b(na+b) \neq 0}}$$. Donc, sous cette condition, on a la possibilité d'écrire que $$A \times A^{-1} = I_n$$. Donc, par identification, on obtient immédiatement :
$$A^{-1} = \dfrac{-1}{b(na+b)} \big( A - (na+2b)I_n \big)$$
Soit encore :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{b(na+b)} \big( (na+2b)I_n - A \big)$$
On a alors :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{b(na+b)} \left( (na+2b) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a+b & a & a &\cdots & a \\ a & a+b & a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a \\ a & a & a &\cdots & a+b \end{pmatrix} \right)$$
Soit :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{b(na+b)} \left( \begin{pmatrix} na+2b & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & na+2b & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & na+2b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a+b & a & a &\cdots & a \\ a & a+b & a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a \\ a & a & a &\cdots & a+b \end{pmatrix} \right)$$
Ou encore :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{b(na+b)} \left( \begin{pmatrix} na+2b & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & na+2b & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & na+2b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a-b & a & a &\cdots & a \\ a & -a-b & a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a \\ a & a & a &\cdots & -a-b \end{pmatrix} \right)$$
On trouve donc que :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{b(na+b)} \begin{pmatrix} na+2b-a-b & a & a & \cdots & a \\ a & na+2b-a-b & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a \\ a & a & a &\cdots & na+2b-a-b \end{pmatrix}$$
Finalement, on trouve que l'expression de la matrice inverse $$A^{-1}$$ est donnée par :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{b(na+b)} \begin{pmatrix} (n-1)a+b & a & a & \cdots & a \\ a & (n-1)a+b & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a \\ a & a & a &\cdots & (n-1)a+b \end{pmatrix}$$
Avec la condition nécessaire $${\color{red}{b(na+b) \neq 0}}$$.