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Sujet 22 - Exercice 3

30 min
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On considère la matrice carrée suivante : M=(2−212−32−120)∈M3(R)M = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & - 3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}).
  • On note par I3I_3 la matrice unité associée.
  • On note par O3\mathcal{O}_3 la matrice nulle associée.
  • On désigne par nn un nombre entier naturel.
    • Question 1

    Calculer M−I3M-I_3.

    Correction
    On a :
    M−I3=(2−212−32−120)−(100010001)=(2−1−212−3−12−120−1)M-I_3 = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & - 3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & -2 & 1 \\ 2 & - 3-1 & 2 \\ -1 & 2 & 0-1 \end{pmatrix}
    Soit :
    M−I3=(1−212−42−12−1)M-I_3 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}

    Question 2

    Calculer M+3I3M+3I_3.

    Correction
    On a :
    M+3I3=(2−212−32−120)+3(100010001)=(2+3−212−3+32−120+3)M+3I_3 = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & - 3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} +3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+3 & -2 & 1 \\ 2 & - 3+3 & 2 \\ -1 & 2 & 0+3 \end{pmatrix}
    Soit :
    M−I3=(5−21202−123)M-I_3 = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
    Question 3

    Calculer (M−I3)(M+3I3)(M-I_3)(M+3I_3).

    Correction
    On a :
    (M−I3)(M+3I3)=(M−I3)×(M+3I3)=(1−212−42−12−1)×(5−21202−123)(M-I_3)(M+3I_3) = (M-I_3) \times (M+3I_3) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
    Soit :
    (M−I3)(M+3I3)=(000000000)(M-I_3)(M+3I_3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
    Donc :
    (M−I3)(M+3I3)=O3(M-I_3)(M+3I_3) = \mathcal{O}_3

    Question 4

    A partir d'un raisonnement portant sur la division euclidienne, déterminer l'expression de la matrice MnM^n.

    Correction
    On a :
    (M−I3)(M+3I3)=O3   ⟺   M2+3MI3−I3M−3I32=O3   ⟺   M2+3M−M−3I32=O3(M-I_3)(M+3I_3) = \mathcal{O}_3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, M^2 + 3MI_3 - I_3 M - 3I_3^2 = \mathcal{O}_3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, M^2 + 3M - M - 3I_3^2 = \mathcal{O}_3
    Donc :
    M2+2M−3I3=O3M^2 + 2M- 3I_3 = \mathcal{O}_3
    Soit xx un réel. D'après le principe de la division euclidienne, nous pouvons écrire que :
    xn=(x2+2x−3)Q(x)+R(x)x^n = (x^2 + 2x - 3)Q(x) + R(x)
    avec QQ et RR qui sont deux polynômes. De plus on a la condition deg⁡R<deg⁡(x2+2x−3)\deg R < \deg (x^2 + 2x - 3). Ceci implique que deg⁡R=1\deg R = 1. Donc :
    R(x)=anx+bn    (an ; bn)∈R2R(x) = a_n x + b_n \,\,\,\, (a_n \,;\, b_n) \in \mathbb{R}^2
    On a alors :
    xn=(x2+2x−3)Q(x)+anx+bnx^n = (x^2 + 2x - 3)Q(x) + a_n x + b_n
    On remarque alors que, si x=1x=1 alors on trouve que 1n=an+bn1^n = a_n + b_n, soit 1n=an+bn1^n = a_n + b_n. De plus, si x=−3x=-3 alors on trouve que (−3)n=−3an+bn(-3)^n = -3a_n + b_n. On en déduit aisément que :
    {an=1−(−3)n4bn=3+(−3)n4\left\lbrace \begin{array}{rcl} a_n & = & \dfrac{1-(-3)^n}{4} \\ & & \\ b_n & = & \dfrac{3+(-3)^n}{4} \end{array} \right.
    En passant à la notation matricielle, on a :
    Mn=(M2+2M−3Im)Q(M)+anM+bnI3   ⟺   Mn=O3Q(M)+anM+bnI3M^n = (M^2 + 2M - 3I_m)Q(M) + a_n M + b_n I_3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, M^n = \mathcal{O}_3Q(M) + a_n M + b_n I_3
    Donc :
    Mn=O3+anM+bnI3   ⟺   Mn=anM+bnI3M^n = \mathcal{O}_3 + a_n M + b_nI_3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, M^n = a_n M + b_n I_3
    Ce qui va nous donner :
    Mn=1−(−3)n4(2−212−32−120)+3+(−3)n4(100010001)M^n = \dfrac{1-(-3)^n}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & - 3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} + \dfrac{3+(-3)^n}{4} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
    Soit :
    Mn=14(2(1−(−3)n)−2(1−(−3)n)(1−(−3)n)2(1−(−3)n)−3(1−(−3)n)2(1−(−3)n)−(1−(−3)n)2(1−(−3)n)0)+14(3+(−3)n0003+(−3)n0003+(−3)n)M^n = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2(1-(-3)^n) & -2(1-(-3)^n) & (1-(-3)^n) \\ 2(1-(-3)^n) & - 3(1-(-3)^n) & 2(1-(-3)^n) \\ -(1-(-3)^n) & 2(1-(-3)^n) & 0 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 3+(-3)^n & 0 & 0 \\ 0 & 3+(-3)^n & 0 \\ 0 & 0 & 3+(-3)^n \end{pmatrix}
    Soit encore :
    Mn=14(2(1−(−3)n)+3+(−3)n−2(1−(−3)n)(1−(−3)n)2(1−(−3)n)−3(1−(−3)n)+3+(−3)n2(1−(−3)n)−(1−(−3)n)2(1−(−3)n)3+(−3)n)M^n = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2(1-(-3)^n)+3+(-3)^n & -2(1-(-3)^n) & (1-(-3)^n) \\ 2(1-(-3)^n) & - 3(1-(-3)^n) + 3+(-3)^n & 2(1-(-3)^n) \\ -(1-(-3)^n) & 2(1-(-3)^n) & 3+(-3)^n \end{pmatrix}
    Finalement :
    Mn=14(5−(−3)n−2(1−(−3)n)(1−(−3)n)2(1−(−3)n)4(−3)n2(1−(−3)n)−(1−(−3)n)2(1−(−3)n)3+(−3)n)M^n = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 5-(-3)^n & -2(1-(-3)^n) & (1-(-3)^n) \\ 2(1-(-3)^n) & 4(-3)^n & 2(1-(-3)^n) \\ -(1-(-3)^n) & 2(1-(-3)^n) & 3+(-3)^n \end{pmatrix}