Sujet $$2$$ - Exercice 1

On désigne par $$p$$ un nombre entier naturel plus grand ou égal à quatre.
On a :
$$\bullet \,\, N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
$$\bullet \bullet \,\, N^2 = N \times N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\, N^3 = N^2 \times N = \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathcal{O}_3$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, N^p = \mathcal{O}_3$$
L'indice de nilpotence est donc $$3$$.

D'après la somme matricielle, on constate que :
$$M = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Soit encore :
$$M = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Finalement, on constate que :

On a :
$$M^n = (I_3 + a N + b N^2)^n = \big( ({\color{red}{I_3 + a N}}) + {\color{blue}{b N^2}}\big)^n$$
En faisant usage de la formule du binôme de $$Newton$$, on a :
$$M^n = \big( ({\color{red}{I_3 + a N}}) + {\color{blue}{b N^2}}\big)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} {\color{red}{(I_3 + a N)^{n-k}}} {\color{blue}{(b N^2)^k}}$$
En tenant compte de la nilpotence de $$N$$, on constate que les deux seules valeurs de l'indice de sommation $$k$$ qui vont donner des expressions non nulles sont $$k=0$$ et $$k=1$$. Ainsi, on obtient :
$$M^n = \big( ({\color{red}{I_3 + a N}}) + {\color{blue}{b N^2}}\big)^n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} {\color{red}{(I_3 + a N)^{n-0}}} {\color{blue}{(b N^2)^0}} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} {\color{red}{(I_3 + a N)^{n-1}}} {\color{blue}{(b N^2)^1}}$$
Soit encore :
$$M^n = \big( ({\color{red}{I_3 + a N}}) + {\color{blue}{b N^2}}\big)^n = 1 {\color{red}{(I_3 + a N)^{n}}} {\color{blue}{b^0 (N^2)^0}} + n {\color{red}{(I_3 + a N)^{n-1}}} {\color{blue}{b N^2}}$$
Soit encore :
$$M^n = {\color{red}{(I_3 + a N)^{n}}} {\color{blue}{1 I_3}} + n{\color{blue}{b}} {\color{red}{(I_3 + a N)^{n-1}}} {\color{blue}{N^2}}$$
Ce qui nous donne donc :
$$M^n = {\color{red}{(I_3 + a N)^{n}}} + n{\color{blue}{b}} {\color{red}{(I_3 + a N)^{n-1}}} {\color{blue}{N^2}}$$
Nous allons faire encore usage du binôme de $$Newton$$ deux fois. En effet :
$$\bullet \,\, {\color{red}{(I_3 + a N)^{n}}} = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} I_3^{n-k} (aN)^k = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} I_3 a^k N^k = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^k N^k$$
En tenant compte de la nilpotence de $$N$$, on constate que les trois seules valeurs de l'indice de sommation $$k$$ qui vont donner des expressions non nulles sont $$k=0$$, $$k=1$$ et $$k=2$$. Ainsi, on obtient donc :
$${\color{red}{(I_3 + a N)^{n}}} = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a^0 N^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^1 N^1 + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^2 N^2 = 1 \times 1 \times I_3 + n a N + \dfrac{n(n-1)}{2} a^2 N^2$$
Ainsi :
$${\color{red}{(I_3 + a N)^{n}}} = I_3 + n a N + \dfrac{n(n-1)}{2} a^2 N^2$$
Puis, on a :
$$\bullet \bullet \,\, {\color{red}{(I_3 + a N)^{n-1}}} = \sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} I_3^{n-1-k} (aN)^k = \sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} I_3 a^k N^k = \sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} a^k N^k$$
Ce qui permet d'écrire que :
$$n{\color{blue}{b}} {\color{red}{(I_3 + a N)^{n-1}}} {\color{blue}{N^2}} = n{\color{blue}{b}} {\color{blue}{N^2}} \sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} a^k N^k = n{\color{blue}{b}} \sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} a^k N^{k+{\color{blue}{2}}}$$
En tenant compte de la nilpotence de $$N$$, on constate que la seule valeur de l'indice de sommation $$k$$ qui va donner une expression non nulle est $$k=0$$. Ainsi, on obtient :
$$n{\color{blue}{b}} {\color{red}{(I_3 + a N)^{n-1}}} {\color{blue}{N^2}} = n{\color{blue}{b}} \begin{pmatrix} n-1 \\ 0 \end{pmatrix} a^0 N^{0+{\color{blue}{2}}} = n{\color{blue}{b}} \times 1 \times 1 \times N^{2} = n{\color{blue}{b}} N^2$$
De fait, nous pouvons donc écrire que :
$$M^n = I_3 + n a N + \dfrac{n(n-1)}{2} a^2 N^2 + n{\color{blue}{b}} N^2$$
Soit :
$$M^n = I_3 + n a N + \left( \dfrac{n(n-1)}{2} a^2 + n{\color{blue}{b}} \right) N^2$$
Soit encore :
$$M^n = I_3 + n a N + n\left( \dfrac{n-1}{2} a^2 + {\color{blue}{b}} \right) N^2$$
De fait, on obtient :
$$M^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + n a \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + n\left( \dfrac{n-1}{2} a^2 + {\color{blue}{b}} \right) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Ce qui nous donne :
$$M^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & n a & 0 \\ 0 & 0 & n a \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & n\left( \dfrac{n-1}{2} a^2 + {\color{blue}{b}} \right) \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Ainsi :
$$M^n = \begin{pmatrix} 1 & n a & 0 \\ 0 & 1 & n a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & n\left( \dfrac{n-1}{2} a^2 + {\color{blue}{b}} \right) \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Finalement, on obtient :