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Sujet 11 - Exercice 3

15 min
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Soit α\alpha un nombre réel.
On considère la matrice MM suivante :
M=(1αα2α31αα2α311α2α31α1α31αα21)∈M4,5(R)M = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & 1 \\ \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & 1 & 1 \\ \alpha^2 & \alpha^3 & 1 & \alpha & 1 \\ \alpha^3 & 1 & \alpha & \alpha^2 & 1 \\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{4,5}(\mathbb{R}).
Question 1

Discuter des valeurs du rang de la matrice MM suivant les valeurs du scalaire réel α\alpha.

Correction
En faisant usage de la technique dite de la réduite de GaussGauss, on obtient :
L1′=L1L2′=L2−αL1L3′=L3−α2L1L4′=L4−α3L1   ⟹   (1αα2α310001−α41−α001−α4α−α51−α201−α4α−α5α2−α61−α3)\begin{matrix} L'_1 = L_1 \\ L'_2 = L_2 - \alpha L_1 \\ L'_3 = L_3 - \alpha^2 L_1 \\ L'_4 = L_4 - \alpha^3 L_1 \\ \end{matrix} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - \alpha^4 & 1 - \alpha \\ 0 & 0 & 1 - \alpha^4 & \alpha - \alpha^5 & 1 - \alpha^2 \\ 0 & 1 - \alpha^4 & \alpha - \alpha^5 & \alpha^2 - \alpha^6 & 1 - \alpha^3 \\ \end{pmatrix}
Puis, on a :
L1′′=L1L2′′=L4′L3′′=L3′L4′′=L2′   ⟹   (1αα2α3101−α4α−α5α2−α61−α3001−α4α−α51−α20001−α41−α)\begin{matrix} L''_1 = L_1 \\ L''_2 = L'_4 \\ L''_3 = L'_3 \\ L''_4 = L'_2 \\ \end{matrix} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & 1 \\ 0 & 1 - \alpha^4 & \alpha - \alpha^5 & \alpha^2 - \alpha^6 & 1 - \alpha^3 \\ 0 & 0 & 1 - \alpha^4 & \alpha - \alpha^5 & 1 - \alpha^2 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1- \alpha^4} & 1 - \alpha \\ \end{pmatrix}
→  Premier  cas:  1−α4≠0\rightarrow \,\, \bf{Premier \,\, cas : \,\,} \mathbf{1- \alpha^4 \neq 0}
Dans ce cas, on a directement
rang(M)=4\mathrm{rang}(M) = 4.
→  Deuxieˋme  cas:  1−α4=0   ⟺   α=±1\rightarrow \,\, \bf{Deuxième \,\, cas : \,\, } \mathbf{1- \alpha^4 = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha = \pm 1}
Dans ce cas la matrice réduite de GaussGauss prend la forme :
(1αα2α3100α−α5α2−α61−α3000α−α51−α200001−α)\begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & 1 \\ 0 & 0 & \alpha - \alpha^5 & \alpha^2 - \alpha^6 & 1 - \alpha^3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha - \alpha^5 & 1 - \alpha^2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - \alpha \\ \end{pmatrix}
      ∙  \,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Si α=1\alpha = 1
On a alors la matrice suivante :
(11111000000000000000)    ⟹    rang(A)=1\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \mathrm{rang}(A) = 1
      ∙  \,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Si α=−1\alpha = - 1
On a alors la matrice suivante :
(1−11−11000020000000002)    ⟹    rang(A)=2\begin{pmatrix} 1 & - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \mathrm{rang}(A) = 2