Sujet $$1$$ - Exercice 3

En faisant usage de la technique dite de la réduite de $$Gauss$$, on obtient :
$$\begin{matrix} L'_1 = L_1 \\ L'_2 = L_2 - \alpha L_1 \\ L'_3 = L_3 - \alpha^2 L_1 \\ L'_4 = L_4 - \alpha^3 L_1 \\ \end{matrix} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - \alpha^4 & 1 - \alpha \\ 0 & 0 & 1 - \alpha^4 & \alpha - \alpha^5 & 1 - \alpha^2 \\ 0 & 1 - \alpha^4 & \alpha - \alpha^5 & \alpha^2 - \alpha^6 & 1 - \alpha^3 \\ \end{pmatrix}$$
Puis, on a :
$$\begin{matrix} L''_1 = L_1 \\ L''_2 = L'_4 \\ L''_3 = L'_3 \\ L''_4 = L'_2 \\ \end{matrix} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & 1 \\ 0 & 1 - \alpha^4 & \alpha - \alpha^5 & \alpha^2 - \alpha^6 & 1 - \alpha^3 \\ 0 & 0 & 1 - \alpha^4 & \alpha - \alpha^5 & 1 - \alpha^2 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1- \alpha^4} & 1 - \alpha \\ \end{pmatrix}$$
$$\rightarrow \,\, \bf{Premier \,\, cas : \,\,} \mathbf{1- \alpha^4 \neq 0}$$
Dans ce cas, on a directement
$$\mathrm{rang}(M) = 4$$.
$$\rightarrow \,\, \bf{Deuxième \,\, cas : \,\, } \mathbf{1- \alpha^4 = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha = \pm 1}$$
Dans ce cas la matrice réduite de $$Gauss$$ prend la forme :
$$\begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & 1 \\ 0 & 0 & \alpha - \alpha^5 & \alpha^2 - \alpha^6 & 1 - \alpha^3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha - \alpha^5 & 1 - \alpha^2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - \alpha \\ \end{pmatrix}$$
$$\,\,\,\,\,\, \bullet \,\,$$ Si $$\alpha = 1$$
On a alors la matrice suivante :
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \mathrm{rang}(A) = 1$$
$$\,\,\,\,\,\, \bullet \,\,$$ Si $$\alpha = - 1$$
On a alors la matrice suivante :
$$\begin{pmatrix} 1 & - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \mathrm{rang}(A) = 2$$