Sujet $$1$$ - Exercice 2

Soit $$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ la matrice unité considérée.
Soit $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ et $$\delta$$ quatre nombres réels.
On pose :
$$B = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$$
Dans ce cas on a :
$$AB=I_2$$
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Ce qui nous donne :
$$\begin{pmatrix} a \alpha+b\gamma & a\beta + b\delta \\ c\alpha+d\gamma & c\beta+d\delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} a \alpha+b\gamma & = & 1 \\ a\beta + b\delta & = & 0 \\ c\alpha+d\gamma & = & 0 \\ c\beta+d\delta & = & 1 \end{array}\right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \alpha & = & \dfrac{1}{a} - \dfrac{b}{a} \gamma \\ & & \\ \beta & = & - \dfrac{b}{a} \delta \\ & & \\ \gamma & = & - \dfrac{c}{d}\alpha \\ & & \\ \delta & = & \dfrac{1}{d} - \dfrac{c}{d} \beta \end{array}\right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \alpha & = & \dfrac{1}{a} - \dfrac{b}{a} \left( - \dfrac{c}{d}\alpha \right) \\ & & \\ \beta & = & - \dfrac{b}{a} \delta \\ & & \\ \gamma & = & - \dfrac{c}{d}\alpha \\ & & \\ \delta & = & \dfrac{1}{d} - \dfrac{c}{d} \left( - \dfrac{b}{a} \delta \right) \end{array}\right.$$
On en déduit alors que :
$$\alpha = \dfrac{1}{a} + \dfrac{bc}{ad} \alpha \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha - \dfrac{bc}{ad} \alpha = \dfrac{1}{a} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha \left( 1 - \dfrac{bc}{ad} \right) = \dfrac{1}{a} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha \left( \dfrac{ad - bc}{ad} \right) = \dfrac{1}{a}$$
Ainsi :
$$\alpha = \dfrac{1}{a}\dfrac{ad}{ad - bc} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha = \dfrac{d}{ad - bc}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\gamma = - \dfrac{c}{d} \dfrac{d}{ad - bc} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \gamma = -\dfrac{c}{ad - bc}$$
Puis, on a aussi :
$$\delta = \dfrac{1}{d} + \dfrac{bc}{ad} \delta \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \delta - \dfrac{bc}{ad} \delta = \dfrac{1}{d} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \delta \left( 1 - \dfrac{bc}{ad} \right) = \dfrac{1}{d} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \delta \left( \dfrac{ad - bc}{ad} \right) = \dfrac{1}{d}$$
Ainsi :
$$\delta = \dfrac{1}{d}\dfrac{ad}{ad - bc} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \delta = \dfrac{a}{ad - bc}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\beta = - \dfrac{b}{a} \delta \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \beta = - \dfrac{b}{a} \dfrac{a}{ad - bc} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \beta = - \dfrac{b}{ad - bc}$$
Dès lors, on trouve que :
$$B= \begin{pmatrix} \dfrac{d}{ad - bc} & - \dfrac{b}{ad - bc} \\ -\dfrac{c}{ad - bc} & \dfrac{a}{ad - bc} \end{pmatrix}$$
En factorisant par $$\dfrac{1}{ad - bc}$$ on trouve finalement :
$$B = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ ou encore