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Calcul matriciel

Sujet 11 - Exercice 2

10 min
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Un exercice classique mais qu'il est nécessaire de savoir-faire sans hésiter.
Soient aa, bb, cc et dd quatre nombres réels qui satisfont à la condition ad≠bcad \neq bc.
On considère une matrice AA une matrice d'ordre 22 telle que : (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
Question 1

Démontrer la formule suivante : A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Correction
Matrice inversible
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) .
    AA est inversible si et seulement il existe une unique matrice B∈Mn(K)B \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) tel que : AB=BA=InAB=BA=I_n.
    On appelle BB l’inverse de AA et on la note A−1A^{-1} .
    Remarque : il suffit en fait de vérifier une seule des conditions AB=InAB=I_n ou bien BA=InBA=I_n et on aura alors nécessairement
    A−1=BA^{-1}=B
    .
Soit I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} la matrice unité considérée.
Soit α\alpha, β\beta, γ\gamma et δ\delta quatre nombres réels.
On pose :
B=(αβγδ)B = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}
Dans ce cas on a :
AB=I2AB=I_2
(abcd)×(αβγδ)=(1001)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
Ce qui nous donne :
(aα+bγaβ+bδcα+dγcβ+dδ)=(1001)\begin{pmatrix} a \alpha+b\gamma & a\beta + b\delta \\ c\alpha+d\gamma & c\beta+d\delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
Donc :
{aα+bγ=1aβ+bδ=0cα+dγ=0cβ+dδ=1   ⟺   {α=1a−baγβ=−baδγ=−cdαδ=1d−cdβ   ⟺   {α=1a−ba(−cdα)β=−baδγ=−cdαδ=1d−cd(−baδ)\left\lbrace \begin{array}{rcl} a \alpha+b\gamma & = & 1 \\ a\beta + b\delta & = & 0 \\ c\alpha+d\gamma & = & 0 \\ c\beta+d\delta & = & 1 \end{array}\right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \alpha & = & \dfrac{1}{a} - \dfrac{b}{a} \gamma \\ & & \\ \beta & = & - \dfrac{b}{a} \delta \\ & & \\ \gamma & = & - \dfrac{c}{d}\alpha \\ & & \\ \delta & = & \dfrac{1}{d} - \dfrac{c}{d} \beta \end{array}\right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \alpha & = & \dfrac{1}{a} - \dfrac{b}{a} \left( - \dfrac{c}{d}\alpha \right) \\ & & \\ \beta & = & - \dfrac{b}{a} \delta \\ & & \\ \gamma & = & - \dfrac{c}{d}\alpha \\ & & \\ \delta & = & \dfrac{1}{d} - \dfrac{c}{d} \left( - \dfrac{b}{a} \delta \right) \end{array}\right.
On en déduit alors que :
α=1a+bcadα   ⟺   α−bcadα=1a   ⟺   α(1−bcad)=1a   ⟺   α(ad−bcad)=1a\alpha = \dfrac{1}{a} + \dfrac{bc}{ad} \alpha \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha - \dfrac{bc}{ad} \alpha = \dfrac{1}{a} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha \left( 1 - \dfrac{bc}{ad} \right) = \dfrac{1}{a} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha \left( \dfrac{ad - bc}{ad} \right) = \dfrac{1}{a}
Ainsi :
α=1aadad−bc   ⟺   α=dad−bc\alpha = \dfrac{1}{a}\dfrac{ad}{ad - bc} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \alpha = \dfrac{d}{ad - bc}
Ce qui nous permet d'écrire que :
γ=−cddad−bc   ⟺   γ=−cad−bc\gamma = - \dfrac{c}{d} \dfrac{d}{ad - bc} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \gamma = -\dfrac{c}{ad - bc}
Puis, on a aussi :
δ=1d+bcadδ   ⟺   δ−bcadδ=1d   ⟺   δ(1−bcad)=1d   ⟺   δ(ad−bcad)=1d\delta = \dfrac{1}{d} + \dfrac{bc}{ad} \delta \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \delta - \dfrac{bc}{ad} \delta = \dfrac{1}{d} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \delta \left( 1 - \dfrac{bc}{ad} \right) = \dfrac{1}{d} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \delta \left( \dfrac{ad - bc}{ad} \right) = \dfrac{1}{d}
Ainsi :
δ=1dadad−bc   ⟺   δ=aad−bc\delta = \dfrac{1}{d}\dfrac{ad}{ad - bc} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \delta = \dfrac{a}{ad - bc}
Ce qui nous permet d'écrire que :
β=−baδ   ⟺   β=−baaad−bc   ⟺   β=−bad−bc\beta = - \dfrac{b}{a} \delta \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \beta = - \dfrac{b}{a} \dfrac{a}{ad - bc} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \beta = - \dfrac{b}{ad - bc}
Dès lors, on trouve que :
B=(dad−bc−bad−bc−cad−bcaad−bc)B= \begin{pmatrix} \dfrac{d}{ad - bc} & - \dfrac{b}{ad - bc} \\ -\dfrac{c}{ad - bc} & \dfrac{a}{ad - bc} \end{pmatrix}
En factorisant par 1ad−bc\dfrac{1}{ad - bc} on trouve finalement :
B=1ad−bc(d−b−ca)B = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} ou encore
A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}