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Sujet 11 - Exercice 1

10 min
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Question 1

On considère une matrice MM une matrice d'ordre 44 vérifiant la relation : (3M+2I4)(2M−I4)=0\left(3M+2I_4\right)\left(2M-I_4\right)=0 .
Déterminer l'inverse de la matrice MM.

Correction
Nous allons commencer par développer (3M+2I4)(2M−I4)=0\left(3M+2I_4\right)\left(2M-I_4\right)=0 .
Il vient alors que :
6M2−3M+4M−2I4=06M^2-3M+4M-2I_4=0
6M2−M−2I4=06M^2-M-2I_4=0
6M2−M=2I46M^2-M=2I_4
Matrice inversible
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) .
    AA est inversible si et seulement il existe une unique matrice B∈Mn(K)B \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) tel que : AB=BA=InAB=BA=I_n.
    On appelle BB l’inverse de AA et on la note A−1A^{-1} .
    Remarque : il suffit en fait de vérifier une seule des conditions AB=InAB=I_n ou bien BA=InBA=I_n et on aura alors nécessairement
    A−1=BA^{-1}=B
    .
D'une part :
6M2−M=2I46M^2-M=2I_4     \;\;équivaut successivement à :
M(6M−I4)=2I4M\left(6M-I_4\right)=2I_4
M[12(6M−I4)]=I4M\left[\frac{1}{2}\left(6M-I_4\right)\right]=I_4
D'autre part :
6M2−M=2I46M^2-M=2I_4     \;\;équivaut successivement à :
(6M−I4)M=2I4\left(6M-I_4\right)M=2I_4
[12(6M−I4)]M=I4\left[\frac{1}{2}\left(6M-I_4\right)\right]M=I_4
Nous avons bien : M[12(6M−I4)]=[12(6M−I4)]M=I4M\left[\frac{1}{2}\left(6M-I_4\right)\right]=\left[\frac{1}{2}\left(6M-I_4\right)\right]M=I_4
La matrice MM est donc inversible dont l'inverse est alors :
M−1=12(6M−I4)M^{-1}=\frac{1}{2}\left(6M-I_4\right)