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Puissances de matrices et formule du binôme de Newton - Exercice 2

15 min
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On considère la matrice A=13(4−2−1142−1−11)A=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc}4 & -2 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right) . Posons B=A−I3B=A-I_3 .
Question 1

Soit nn un entier naturel. Déterminer BnB^n .

Correction
Soit B=A−I3B=A-I_3
Il vient :
B=13(4−2−1142−1−11)−(100010001)B=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc}4 & -2 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right)-\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
On obtient : B=(13−23−13131323−13−13−23)B=\left( \begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{array}\right)
Ainsi, après calculs, on obtient :
B2=(0−13−130−13−13−13−13−23)B^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{array}\right)
B3=(000000000)B^3=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
Ainsi, pour tout entier naturel nn tel que n≥3n\ge 3, Bn=0B^n=0 .
    Matrice nilpotente
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) . On dit que AA est nilpotente s'il existe un entier pp non nul tel que : Ap=0A^p=0 .
  • Le plus petit entier kk tel que Ak=0A^k=0 s’appelle l’indice de nilpotence de AA.
    • BB est une matrice nilpotente d'indice 33 .
    Question 2

    Soit nn un entier naturel. En déduire AnA^n .

    Correction
    Soit nn un entier naturel, d'après les hypothèses B=A−I3B=A-I_3 ainsi A=B+I3A=B+I_3 .
    • Soient les matrices A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) et B∈Mn(K)B \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) qui commutent c'est à dire AB=BAAB=BA, on a alors la formule du binôme :
      ∀ p∈N\forall \ p \in \mathbb{N} , (A+B)p=∑k=0n(pk)AkBp−k\left(A+B\right)^{p} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {p} \\ {k} \end{array}\right) A^{k} B^{p-k}
    Les matrices I3I_3 et BB commutent donc d'après la formule du binôme de Newton :
    ∀n∈N , n≥3 : An=(B+I3)n\forall n\in \mathbb{N}\ ,\ n\ge 3\ :\ A^n={\left(B+I_3\right)}^n
    An=(nk)Bk(I3)n−kA^n=\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)B^k{\left(I_3\right)}^{n-k}
    An=(nk)BkA^n=\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)B^k         \;\;\;\; or Bk=0B^k=0 si k≥3k\ge 3
    An=(n0)B0+(n1)B1+(n2)B2+(n3)B3⏟=0+(n4)B4⏟=0+⋯+(nn)Bn⏟=0A^n=\left( \begin{array}{c}n \\ 0 \end{array}\right)B^0+\left( \begin{array}{c}n \\ 1 \end{array}\right)B^1+\left( \begin{array}{c}n \\ 2 \end{array}\right)B^2+\underbrace{\left( \begin{array}{c}n \\ 3 \end{array}\right)B^3}_{=0}+\underbrace{\left( \begin{array}{c}n \\ 4 \end{array}\right)B^4}_{=0}+\cdots +\underbrace{\left( \begin{array}{c}n \\ n \end{array}\right)B^n}_{=0}
    An=(n0)B0+(n1)B1+(n2)B2A^n=\left( \begin{array}{c}n \\ 0 \end{array}\right)B^0+\left( \begin{array}{c}n \\ 1 \end{array}\right)B^1+\left( \begin{array}{c}n \\ 2 \end{array}\right)B^2
    Ainsi :
    ∀n∈N , n≥3 \forall n\in \mathbb{N}\ ,\ n\ge 3\ :
    An=I3+nB+n(n−1)2B2A^n=I_3+nB+\frac{n\left(n-1\right)}{2}B^2

    Pour n=2{\color{blue}{n=2}} :
    A2=(I3+B)2A^2={\left(I_3+B\right)}^2
    A2=I3+2B+B2A^2=I_3+2B+B^2 et A2=I3+2B+2(2−1)2B2A^2=I_3+2B+\frac{2\left(2-1\right)}{2}B^2
    La formule est vraie pour n=2n=2.
    En conclusion :
    ∀n∈N \forall n\in \mathbb{N}\ :
    An=I3+nB+n(n−1)2B2A^n=I_3+nB+\frac{n\left(n-1\right)}{2}B^2