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Puissances de matrices et formule du binôme de Newton - Exercice 1

20 min
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On considère la matrice A=(1111011100110001)A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 1&1 \\ 0 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 0& 0& 1\end{array}\right) . Posons B=A−I4B=A-I_4 .
Question 1

Soit nn un entier naturel. Déterminer BnB^n .

Correction
Tout d'abord nous savons que B=A−I4B=A-I_4 .
Ainsi :
B=A−I4B=A-I_4
B=(1111011100110001)−(1000010000100001)B=\left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 1&1 \\ 0 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 0& 0& 1\end{array}\right)-\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0& 0& 1\end{array}\right)
D'où : B=(0111001100010000)B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 1&1 \\ 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0& 0& 0\end{array}\right)
Après calculs, on montrera que :
B2=(0012000100000000)B^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 &2 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0& 0\end{array}\right)
B3=(0000000000000000)B^3=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0& 0\end{array}\right)
B3=(0001000000000000)B^3=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0& 0\end{array}\right)
Ainsi, pour tout entier naturel nn tel que n≥4n\ge 4, or Bn=0B^n=0 .
    Matrice nilpotente
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) . On dit que AA est nilpotente s'il existe un entier pp non nul tel que : Ap=0A^p=0 .
  • Le plus petit entier kk tel que Ak=0A^k=0 s’appelle l’indice de nilpotence de AA.
    • BB est une matrice nilpotente d'indice 44 .
    Question 2

    Soit nn un entier naturel. En déduire AnA^n .

    Correction
    Soit nn un entier naturel, d'après les hypothèses B=A−I4B=A-I_4 ainsi A=B+I4A=B+I_4 .
    • Soient les matrices A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) et B∈Mn(K)B \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) qui commutent c'est à dire AB=BAAB=BA, on a alors la formule du binôme :
      ∀ p∈N\forall \ p \in \mathbb{N} , (A+B)p=∑k=0n(pk)AkBp−k\left(A+B\right)^{p} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {p} \\ {k} \end{array}\right) A^{k} B^{p-k}
    Les matrices I4I_4 et BB commutent donc d'après la formule du binôme de Newton :
    ∀n∈N , n≥4 : An=(B+I4)n\forall n\in \mathbb{N}\ ,\ n\ge 4\ :\ A^n={\left(B+I_4\right)}^n
    An=(nk)Bk(I4)n−kA^n=\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)B^k{\left(I_4\right)}^{n-k}
    An=(nk)BkA^n=\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)B^k         \;\;\;\; Bk=0B^k=0 si k≥4k\ge 4
    An=(n0)B0+(n1)B1+(n2)B2+(n3)B3+(n4)B4⏟=0+(n5)B5⏟=0+⋯+(nn)Bn⏟=0A^n=\left( \begin{array}{c}n \\ 0 \end{array}\right)B^0+\left( \begin{array}{c}n \\ 1 \end{array}\right)B^1+\left( \begin{array}{c}n \\ 2 \end{array}\right)B^2+\left( \begin{array}{c}n \\ 3 \end{array}\right)B^3+\underbrace{\left( \begin{array}{c}n \\ 4 \end{array}\right)B^4}_{=0}+\underbrace{\left( \begin{array}{c}n \\ 5 \end{array}\right)B^5}_{=0}+\cdots +\underbrace{\left( \begin{array}{c}n \\ n \end{array}\right)B^n}_{=0}
    An=(n0)B0+(n1)B1+(n2)B2+(n3)B3A^n=\left( \begin{array}{c}n \\ 0 \end{array}\right)B^0+\left( \begin{array}{c}n \\ 1 \end{array}\right)B^1+\left( \begin{array}{c}n \\ 2 \end{array}\right)B^2+\left( \begin{array}{c}n \\ 3\end{array}\right)B^3
    Ainsi :
    ∀n∈N , n≥4 \forall n\in \mathbb{N}\ ,\ n\ge 4\ :
    An=I4+nB+n(n−1)2B2+n(n−1)(n−2)6B3A^n=I_4+nB+\frac{n\left(n-1\right)}{2}B^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}B^3

    Pour n=3{\color{blue}{n=3}} :
    A3=(I4+B)3A^3={\left(I_4+B\right)}^3
    A3=I4+3B+3B2+B3A^3=I_4+3B+3B^2+B^3 et A3=I4+3B+3(3−1)2B2+3(3−1)(3−2)6B3A^3=I_4+3B+\frac{3\left(3-1\right)}{2}B^2+\frac{3\left(3-1\right)\left(3-2\right)}{6}B^3
    La formule est vraie pour n=3n=3.
    Pour n=2{\color{blue}{n=2}} :
    A2=(I4+B)2A^2={\left(I_4+B\right)}^2
    A2=I4+2B+B2A^2=I_4+2B+B^2 et A2=I4+2B+2(2−1)2B2A^2=I_4+2B+\frac{2\left(2-1\right)}{2}B^2
    La formule est vraie pour n=2n=2.
    En conclusion :
    ∀n∈N \forall n\in \mathbb{N}\ :
    An=I4+nB+n(n−1)2B2+n(n−1)(n−2)6B3A^n=I_4+nB+\frac{n\left(n-1\right)}{2}B^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}B^3