Puissances de matrices et formule du binôme de Newton - Exercice 1

Tout d'abord nous savons que $$B=A-I_4$$ .
Ainsi :
$$B=A-I_4$$
$$B=\left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 1&1 \\ 0 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 0& 0& 1\end{array}\right)-\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0& 0& 1\end{array}\right)$$
D'où : $$B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 1&1 \\ 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0& 0& 0\end{array}\right)$$
Après calculs, on montrera que :
$$B^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 &2 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0& 0\end{array}\right)$$
$$B^3=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0& 0\end{array}\right)$$
$$B^3=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0& 0\end{array}\right)$$
Ainsi, pour tout entier naturel $$n$$ tel que $$n\ge 4$$, or $$B^n=0$$ .
$$B$$ est une matrice nilpotente d'indice $$4$$ .

Soit $$n$$ un entier naturel, d'après les hypothèses $$B=A-I_4$$ ainsi $$A=B+I_4$$ .
Les matrices $$I_4$$ et $$B$$ commutent donc d'après la formule du binôme de Newton :
$$\forall n\in \mathbb{N}\ ,\ n\ge 4\ :\ A^n={\left(B+I_4\right)}^n$$
$$A^n=\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)B^k{\left(I_4\right)}^{n-k}$$
$$A^n=\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)B^k$$ $$\;\;\;\;$$ $$B^k=0$$ si $$k\ge 4$$
$$A^n=\left( \begin{array}{c}n \\ 0 \end{array}\right)B^0+\left( \begin{array}{c}n \\ 1 \end{array}\right)B^1+\left( \begin{array}{c}n \\ 2 \end{array}\right)B^2+\left( \begin{array}{c}n \\ 3 \end{array}\right)B^3+\underbrace{\left( \begin{array}{c}n \\ 4 \end{array}\right)B^4}_{=0}+\underbrace{\left( \begin{array}{c}n \\ 5 \end{array}\right)B^5}_{=0}+\cdots +\underbrace{\left( \begin{array}{c}n \\ n \end{array}\right)B^n}_{=0}$$
$$A^n=\left( \begin{array}{c}n \\ 0 \end{array}\right)B^0+\left( \begin{array}{c}n \\ 1 \end{array}\right)B^1+\left( \begin{array}{c}n \\ 2 \end{array}\right)B^2+\left( \begin{array}{c}n \\ 3\end{array}\right)B^3$$
Ainsi :
$$\forall n\in \mathbb{N}\ ,\ n\ge 4\$$ :
Pour $${\color{blue}{n=3}}$$ :
$$A^3={\left(I_4+B\right)}^3$$
$$A^3=I_4+3B+3B^2+B^3$$ et $$A^3=I_4+3B+\frac{3\left(3-1\right)}{2}B^2+\frac{3\left(3-1\right)\left(3-2\right)}{6}B^3$$
La formule est vraie pour $$n=3$$.
Pour $${\color{blue}{n=2}}$$ :
$$A^2={\left(I_4+B\right)}^2$$
$$A^2=I_4+2B+B^2$$ et $$A^2=I_4+2B+\frac{2\left(2-1\right)}{2}B^2$$
La formule est vraie pour $$n=2$$.
En conclusion :
$$\forall n\in \mathbb{N}\$$$$$$$$$$$$$$$$$$ :