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Opérations élémentaires sur les matrices : Un peu exotique bien sûr à faire sans calculatrice - Exercice 1

1 h
90
Il est essentiel de savoir prendre le temps de réaliser les opérations usuelles sur des matrices de tailles plus importantes. Dans ce type d'exercice il faut de la patience et de l'organisation.
On désigne par :
A=(1234561−23−45−6−12−34−56−1−2−3−4−5−612−345−6−12345−6)∈M6,6(R)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & -3 & 4 & -5 & 6 \\ -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 \\ 1 & 2 & -3 & 4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & 3 & 4 & 5 & -6 \\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{6,6}(\mathbb{R})
et
B=(198765523547−172693−18−369492748−6198273)∈M6,6(R)B = \begin{pmatrix} 1 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 5 & 4 & 7 \\ -1 & 7 & 2 & 6 & 9 & 3 \\ -1 & 8 & -3 & 6 & 9 & 4 \\ 9 & 2 & 7 & 4 & 8 & -6 \\ 1 & 9 & 8 & 2 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{6,6}(\mathbb{R})
Question 1

Calculer le produit ABAB.

Correction
Le produit ABAB nous donne :
A×B=(1234561−23−45−6−12−34−56−1−2−3−4−5−612−345−6−12345−6)×(198765523547−172693−18−369492748−6198273)A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & -3 & 4 & -5 & 6 \\ -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 \\ 1 & 2 & -3 & 4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & 3 & 4 & 5 & -6 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 5 & 4 & 7 \\ -1 & 7 & 2 & 6 & 9 & 3 \\ -1 & 8 & -3 & 6 & 9 & 4 \\ 9 & 2 & 7 & 4 & 8 & -6 \\ 1 & 9 & 8 & 2 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix}
Soit :
A×B=(5513091911593231−507−1−13−64−3150−711364−55−130−91−91−159−3249−20−173121−22414−215363−14)A \times B = \begin{pmatrix} 55 & 130 & 91 & 91 & 159 & 32 \\ 31 & -50 & 7 & -1 & -13 & -64 \\ -31 & 50 & -7 & 1 & 13 & 64 \\ -55 & -130 & -91 & -91 & -159 & -32 \\ 49 & -20 & -17 & 31 & 21 & -22 \\ 41 & 4 & -21 & 53 & 63 & -14 \\ \end{pmatrix}
Question 2

Calculer le produit BABA.

Correction
Le produit BABA nous donne :
B×A=(198765523547−172693−18−369492748−6198273)×(1234561−23−45−6−12−34−56−1−2−3−4−5−612−345−6−12345−6)B \times A = \begin{pmatrix} 1 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 5 & 4 & 7 \\ -1 & 7 & 2 & 6 & 9 & 3 \\ -1 & 8 & -3 & 6 & 9 & 4 \\ 9 & 2 & 7 & 4 & 8 & -6 \\ 1 & 9 & 8 & 2 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & -3 & 4 & -5 & 6 \\ -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 \\ 1 & 2 & -3 & 4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & 3 & 4 & 5 & -6 \\ \end{pmatrix}
Soit :
B×A=(−48−181630−108−42464850−6040−24050−1449−10−3−2085−1861424−42481048416−123250−72)B \times A = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -18 & 16 & 30 & -108 \\ -4 & 24 & 6 & 48 & 50 & -60 \\ 4 & 0 & -24 & 0 & 50 & -144 \\ 9 & -10 & -3 & -20 & 85 & -186 \\ 14 & 24 & -42 & 48 & 10 & 48 \\ 4 & 16 & -12 & 32 & 50 & -72 \\ \end{pmatrix}
Question 3

Calculer A2A^2.

Correction
Le produit A2A^2 nous donne :
A×A=(1234561−23−45−6−12−34−56−1−2−3−4−5−612−345−6−12345−6)×(1234561−23−45−6−12−34−56−1−2−3−4−5−612−345−6−12345−6)A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & -3 & 4 & -5 & 6 \\ -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 \\ 1 & 2 & -3 & 4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & 3 & 4 & 5 & -6 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & -3 & 4 & -5 & 6 \\ -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 \\ 1 & 2 & -3 & 4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & 3 & 4 & 5 & -6 \\ \end{pmatrix}
Soit :
A×A=(−518−93635−781118−3336−566−11−1833−365−665−1893−6−357813−18−27−365−425−10−51−20−35−18)A \times A = \begin{pmatrix} -5 & 18 & -9 & 36 & 35 & -78 \\ 11 & 18 & -33 & 36 & -5 & 66 \\ -11 & -18 & 33 & -36 & 5 & -66 \\ 5 & -18 & 9 & 3-6 & -35 & 78 \\ 13 & -18 & -27 & -36 & 5 & -42 \\ 5 & -10 & -51 & -20 & -35 & -18 \\ \end{pmatrix}
Question 4

Calculer B2B^2.

Correction
Le produit B2B^2 nous donne :
B×B=(198765523547−172693−18−369492748−6198273)×(198765523547−172693−18−369492748−6198273)B \times B = \begin{pmatrix} 1 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 5 & 4 & 7 \\ -1 & 7 & 2 & 6 & 9 & 3 \\ -1 & 8 & -3 & 6 & 9 & 4 \\ 9 & 2 & 7 & 4 & 8 & -6 \\ 1 & 9 & 8 & 2 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 5 & 4 & 7 \\ -1 & 7 & 2 & 6 & 9 & 3 \\ -1 & 8 & -3 & 6 & 9 & 4 \\ 9 & 2 & 7 & 4 & 8 & -6 \\ 1 & 9 & 8 & 2 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix}
Soit :
B×B=(9019611217626099501811211231916511011286118187291218887951532474128881591833010214011814620967)B \times B = \begin{pmatrix} 90 & 196 & 112 & 176 & 260 & 99 \\ 50 & 181 & 121 & 123 & 191 & 65 \\ 110 & 112 & 86 & 118 & 187 & 29 \\ 121 & 88 & 87 & 95 & 153 & 24 \\ 74 & 128 & 88 & 159 & 183 & 30 \\ 102 & 140 & 118 & 146 & 209 & 67 \\ \end{pmatrix}
Question 5

Calculer le produit (AB)2(AB)^2.

Correction
Le produit (AB)2=(A×B)×(A×B)(AB)^2 = (A \times B) \times (A \times B) nous donne :
(AB)2=(5513091911593231−507−1−13−64−3150−711364−55−130−91−91−159−3249−20−173121−22414−215363−14)×(5513091911593231−507−1−13−64−3150−711364−55−130−91−91−159−3249−20−173121−22414−215363−14)(AB)^2 = \begin{pmatrix} 55 & 130 & 91 & 91 & 159 & 32 \\ 31 & -50 & 7 & -1 & -13 & -64 \\ -31 & 50 & -7 & 1 & 13 & 64 \\ -55 & -130 & -91 & -91 & -159 & -32 \\ 49 & -20 & -17 & 31 & 21 & -22 \\ 41 & 4 & -21 & 53 & 63 & -14 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 55 & 130 & 91 & 91 & 159 & 32 \\ 31 & -50 & 7 & -1 & -13 & -64 \\ -31 & 50 & -7 & 1 & 13 & 64 \\ -55 & -130 & -91 & -91 & -159 & -32 \\ 49 & -20 & -17 & 31 & 21 & -22 \\ 41 & 4 & -21 & 53 & 63 & -14 \\ \end{pmatrix}
Soit :
(AB)2=(A×B)×(A×B)=(8332−9682−63783310−876−7594−326870144078−826152458543268−7014−4078826−1524−5854−833296826378−33108767594102419821722112619566142628−4126−169494−1792−3174)(AB)^2 = (A \times B) \times (A \times B) = \begin{pmatrix} 8332 & -9682 & -6378 & 3310 & -876 & -7594 \\ -3268 & 7014 & 4078 & -826 & 1524 & 5854 \\ 3268 & -7014 & -4078 & 826 & -1524 & -5854 \\ -8332 & 9682 & 6378 & -3310 & 876 & 7594 \\ 1024 & 1982 & 1722 & 1126 & 1956 & 614 \\ 2628 & -4126 & -1694 & 94 & -1792 & -3174 \\ \end{pmatrix}
Question 6

Calculer le produit A2B2A^2 B^2.

Correction
Le produit A2B2=A2×B2=(A×A)×(B×B)A^2 B^2 = A^2 \times B^2 = (A \times A) \times (B \times B) nous donne :
A2B2=(−518−93635−781118−3336−566−11−1833−365−665−1893−6−357813−18−27−365−425−10−51−20−35−18)×(9019611217626099501811211231916511011286118187291218887951532474128881591833010214011814620967)A^2 B^2 = \begin{pmatrix} -5 & 18 & -9 & 36 & 35 & -78 \\ 11 & 18 & -33 & 36 & -5 & 66 \\ -11 & -18 & 33 & -36 & 5 & -66 \\ 5 & -18 & 9 & 3-6 & -35 & 78 \\ 13 & -18 & -27 & -36 & 5 & -42 \\ 5 & -10 & -51 & -20 & -35 & -18 \\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 90 & 196 & 112 & 176 & 260 & 99 \\ 50 & 181 & 121 & 123 & 191 & 65 \\ 110 & 112 & 86 & 118 & 187 & 29 \\ 121 & 88 & 87 & 95 & 153 & 24 \\ 74 & 128 & 88 & 159 & 183 & 30 \\ 102 & 140 & 118 & 146 & 209 & 67 \\ \end{pmatrix}
Soit :
A2B2=(−1550−2002−2148−2131−3934−28988978134861105212517185146438−8978−13486−11052−12517−18514−6438155020022148213139342898−10970−12142−10692−11869−18478−4194−12506−15302−11980−16461−23374−4370)A^2 B^2 = \begin{pmatrix} -1550 & -2002 & -2148 & -2131 & -3934 & -2898 \\ 8978 & 13486 & 11052 & 12517 & 18514 & 6438 \\ -8978 & -13486 & -11052 & -12517 & -18514 & -6438 \\ 1550 & 2002 & 2148 & 2131 & 3934 & 2898 \\ -10970 & -12142 & -10692 & -11869 & -18478 & -4194 \\ -12506 & -15302 & -11980 & -16461 & -23374 & -4370 \\ \end{pmatrix}
Question 7

Que constatez-vous, et pourquoi ?

Correction
On constate que (AB)2≠A2B2(AB)^2 \neq A^2B^2. Ceci provient du fait que les deux matrices AA et BB ne commutent pas entre elles, autrement dit ceci à cause de AB≠BAAB \neq BA.