Opérations élémentaires sur les matrices : somme, produit, transposée - Exercice 4

On a :
$$AB = A \times B = \begin{pmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos(b) & -\sin(b) \\ \sin(b) & \cos(b) \end{pmatrix}$$
Soit :
$$AB = A \times B = \begin{pmatrix} \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) & -\cos(a)\sin(b)-\sin(a)\cos(b) \\ \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b) & -\sin(a)\sin(b)+\cos(a)\cos(b) \end{pmatrix}$$
Soit encore, en faisant usage des formules d'addition, on trouve finalement que :

$$BA = B \times A = \begin{pmatrix} \cos(b) & -\sin(b) \\ \sin(b) & \cos(b) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{pmatrix}$$
Soit :
$$BA = B \times A = \begin{pmatrix} \cos(b)\cos(a)-\sin(b)\sin(a) & -\cos(b)\sin(a)-\sin(b)\cos(a) \\ \sin(b)\cos(a)+\cos(b)\sin(a) & -\sin(b)\sin(a)+\cos(b)\cos(a) \end{pmatrix}$$
Soit encore, en faisant usage des formules d'addition, on trouve finalement que :

Comme $$a$$ et $$b$$ sont deux nombres réels, on a alors $$b+a = a+b$$. Donc :
$$BA = \begin{pmatrix} \cos(a+b) & -\sin(a+b) \\ \sin(a+b) & \cos(a+b) \end{pmatrix}$$
Et finalement :

Donc les deux matrices $$A$$ et $$B$$ commutent entre elles.