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Opérations élémentaires sur les matrices : somme, produit, transposée - Exercice 4

15 min

Soient

a

b

deux nombres réels.
On pose

A = \begin{pmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} \cos(b) & -\sin(b) \\ \sin(b) & \cos(b) \end{pmatrix}

Question 1

Calculer le produit $AB$ .

Correction

On a :

AB = A \times B = \begin{pmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos(b) & -\sin(b) \\ \sin(b) & \cos(b) \end{pmatrix}

Soit :

AB = A \times B = \begin{pmatrix} \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) & -\cos(a)\sin(b)-\sin(a)\cos(b) \\ \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b) & -\sin(a)\sin(b)+\cos(a)\cos(b) \end{pmatrix}

Soit encore, en faisant usage des formules d'addition, on trouve finalement que :

AB = \begin{pmatrix} \cos(b+a) & -\sin(b+a) \\ \sin(b+a) & \cos(b+a) \end{pmatrix}

Question 2

Correction

BA = B \times A = \begin{pmatrix} \cos(b) & -\sin(b) \\ \sin(b) & \cos(b) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{pmatrix}

Soit :

BA = B \times A = \begin{pmatrix} \cos(b)\cos(a)-\sin(b)\sin(a) & -\cos(b)\sin(a)-\sin(b)\cos(a) \\ \sin(b)\cos(a)+\cos(b)\sin(a) & -\sin(b)\sin(a)+\cos(b)\cos(a) \end{pmatrix}

Soit encore, en faisant usage des formules d'addition, on trouve finalement que :

BA = \begin{pmatrix} \cos(b+a) & -\sin(b+a) \\ \sin(b+a) & \cos(b+a) \end{pmatrix}

Question 3

Correction

Comme

a

b

sont deux nombres réels, on a alors

b+a = a+b

. Donc :

BA = \begin{pmatrix} \cos(a+b) & -\sin(a+b) \\ \sin(a+b) & \cos(a+b) \end{pmatrix}

Et finalement :

BA = AB

Donc les deux matrices

A

B

commutent entre elles.

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