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Opérations élémentaires sur les matrices : somme, produit, transposée - Exercice 3

10 min
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Question 1

Soient A∈M3(R)A \in \mathscr{M}_3 \left(\mathbb{R}\right) définie par : A=(111−11−1−20−2)A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {-1} & {1} & {-1} \\ {-2} & {0} & {-2} \end{array}\right)
Calculer A2A^2 et A3A^3 . En déduire, pour tout entier naturel nn, AnA^n .

Correction
Soit A=(111−11−1−20−2)A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {-1} & {1} & {-1} \\ {-2} & {0} & {-2} \end{array}\right)
Calculons d'une part : A2A^2
A2=A×AA^2=A\times A
Ainsi : A2=(−22−20002−22)A^2=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {2} & {-2} \\ {0} & {0} & {0} \\ {2} & {-2} & {2} \end{array}\right)
Calculons d'autre part : A3A^3
A3=A2×AA^3=A^2\times A
Ainsi :
A3=(000000000)A^3=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)

Finalement, pour tout entier naturel n≥3n\ge3, on a : An=(000000000)A^n= \left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right) que l'on peut noter également An=03A^n= 0_3 où désigne la matrice nulle d’ordre 33.
Question 2

Soient A∈M4(R)A \in \mathscr{M}_4 \left(\mathbb{R}\right) définie par : A=(0212000−100010000)A=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {2} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {-1} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right)
Calculer A2A^2 et A3A^3 . En déduire, pour tout entier naturel nn, AnA^n .

Correction
Soit A=(0212000−100010000)A=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {2} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {-1} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right)
Calculons d'une part : A2A^2
A2=A×AA^2=A\times A
Ainsi : A2=(000−1000000000000)A^2=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} & {-1} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right)
Calculons d'autre part : A3A^3
A3=A2×AA^3=A^2\times A
Ainsi :
A3=(0000000000000000)A^3=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right)

Finalement, pour tout entier naturel n≥3n\ge3, on a : An=(0000000000000000)A^n= \left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right) que l'on peut noter également An=04A^n= 0_4 où désigne la matrice nulle d’ordre 44.