Opérations élémentaires sur les matrices : somme, produit, transposée - Exercice 2

$$A$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$2$$ colonnes. On dit que $$A$$ est une matrice carrée d'ordre $$2$$.
$$B$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$3$$ colonnes.
Le nombre de colonnes de $$A$$ est égale au nombre de lignes de $$B$$. On peut donc calculer $$A\times B$$.
Soient $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{0}} & {\red{2}} \\ {\blue{-1}} & {\blue{1}} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{cc} {\pink{-1}} & {\purple{0}} & {\green{-2}}\\ {\pink{1}} & {\purple{0}}& {\green{-2}} \end{array}\right)$$
Il vient alors que :
$$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {\red{0}} & {\red{2}} \\ {\blue{-1}} & {\blue{1}} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{cc} {\red{0}\times \left(\pink{-1}\right)+\red{2}\times \pink{1}} & {\red{0}\times \purple{0}+\red{2}\times \purple{0}} & {\red{0}\times \left(\green{-2}\right)+\red{2}\times \left(\green{-2}\right)} \\ {\left(\blue{-1}\right)\times \left(\pink{-1}\right)+\blue{1}\times \pink{1}} & {\left(\blue{-1}\right)\times \purple{0}+\blue{1}\times \purple{0}} & {\left(\blue{-1}\right)\times \left(\green{-2}\right)+\blue{1}\times \left(\green{-2}\right)}\end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {\pink{-1}} & {\purple{0}} & {\green{-2}}\\ {\pink{1}} & {\purple{0}}& {\green{-2}} \end{array}\right)}$$
$$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {\red{0}} & {\red{2}} \\ {\blue{-1}} & {\blue{1}} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} & {-4}\\ {2} & {0} & {0} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {\pink{-1}} & {\purple{0}} & {\green{-2}}\\ {\pink{1}} & {\purple{0}}& {\green{-2}} \end{array}\right)}$$
Finalement :

$$B$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$3$$ colonnes.
$$A$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$2$$ colonnes.
Le nombre de colonnes de $$B$$ $$\red{\text{n'est pas égale}}$$ au nombre de lignes de $$C$$. On $$\red{\text{ne peut donc pas}}$$ calculer $$B\times A$$.

$$A$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$2$$ colonnes. On dit que $$A$$ est une matrice carrée d'ordre $$2$$ .
$$B$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$3$$ colonnes.
Les matrices $$A$$ et $$B$$ ne sont pas du $$\red{\text{même format}}$$ .
On ne peut donc pas calculer $$A+B$$ .

$$B+C=\left(\begin{array}{ccc} {-1} & {0} & {-2} \\ {1} & {0} & {-2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} {0} & {-2} & {1} \\ {-3} & {1} & {4} \end{array}\right)$$
$$B+C=\left(\begin{array}{ccc} {-1+0} & {0+\left(-2\right)} & {-2+1} \\ {1+\left(-3\right)} & {0+1} & {-2+4} \end{array}\right)$$
Ainsi :

Nous savons que : $$A=\left(\begin{array}{cc} {0} & {2} \\ {-1} & {1} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{ccc} {-1} & {0} & {-2} \\ {1} & {0} & {-2} \end{array}\right)$$ .
Il vient alors que $$~^tA=\left(\begin{array}{cc} {0} & {-1} \\ {2} & {1} \end{array}\right)$$ et $$~^tB=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {0} & {0} \\ {-2} & {-2}\end{array}\right)$$ .
$$~^tA$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$2$$ colonnes.
$$~^tB$$ est une matrice à $$3$$ lignes et $$2$$ colonnes.
Les matrices $$A$$ et $$B$$ ne sont pas du $$\red{\text{même format}}$$ .
On ne peut donc pas calculer $$A+B$$ .

$$B$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$3$$ colonnes.
$$C$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$3$$ colonnes.
Le nombre de colonnes de $$B$$ $$\red{\text{n'est pas égale}}$$ au nombre de lignes de $$C$$. On $$\red{\text{ne peut donc pas}}$$ calculer $$B\times C$$.