Opérations élémentaires sur les matrices : somme, produit, transposée - Exercice 1

Soit $$A=\left(\begin{array}{cc} {-2} & {3} \\ {4} & {1} \end{array}\right)$$ donc $$3A=\left(\begin{array}{cc} {-2\times3} & {3\times3} \\ {4\times3} & {1\times3} \end{array}\right)$$ ainsi : $$3A=\left(\begin{array}{cc} {-6} & {9} \\ {12} & {3} \end{array}\right)$$
Soit $$B=\left(\begin{array}{cc} {5} & {6} \\ {2} & {-5} \end{array}\right)$$ donc $$4B=\left(\begin{array}{cc} {5\times4} & {6\times4} \\ {2\times4} & {-5\times4} \end{array}\right)$$ ainsi : $$4B=\left(\begin{array}{cc} {20} & {24} \\ {8} & {-20} \end{array}\right)$$
Il vient alors que :
$$3A-4B=\left(\begin{array}{cc} {\red{-6}} & {\blue{9}} \\ {\green{12}} & {\pink{3}} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {\red{20}} & {\blue{24}} \\ {\green{8}} & {\pink{-20}} \end{array}\right)$$
$$3A-4B=\left(\begin{array}{cc} {\red{-6}-\red{20}} & {\blue{9}-\blue{24}} \\ {\green{12}-\green{8}} & {\pink{3}-\left(\pink{-20}\right)} \end{array}\right)$$
Finalement :

$$A$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$2$$ colonnes. On dit que $$A$$ est une matrice carrée d'ordre $$2$$.
$$B$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$2$$ colonnes. On dit que $$B$$ est une matrice carrée d'ordre $$2$$.
Le nombre de colonnes de $$A$$ est égale au nombre de lignes de $$B$$. On peut donc calculer $$A\times B$$.
Soient $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\red{1}} \\ {\blue{1}} & {\blue{5}} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{cc} {\pink{0}} & {\purple{3}} \\ {\pink{2}} & {\purple{6}} \end{array}\right)$$
Il vient alors que :
$$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\red{1}} \\ {\blue{1}} & {\blue{5}} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{cc} {\red{2}\times \pink{0}+\red{1}\times \pink{2}} & {\red{2}\times \purple{3}+\red{1}\times \purple{6}} \\ {\blue{1}\times \pink{0}+\blue{5}\times \pink{2}} & {\blue{1}\times \purple{3}+\blue{5}\times \purple{6}} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {\pink{0}} & {\purple{3}} \\ {\pink{2}} & {\purple{6}} \end{array}\right)}$$
$$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {1} & {5} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2} & {12} \\ {10} & {33} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {6} \end{array}\right)}$$
Finalement :

$$A$$ est une matrice à $$3$$ lignes et $$3$$ colonnes. On dit que $$A$$ est une matrice carrée d'ordre $$3$$.
$$B$$ est une matrice à $$3$$ lignes et $$3$$ colonnes. On dit que $$B$$ est une matrice carrée d'ordre $$3$$.
Le nombre de colonnes de $$A$$ est égale au nombre de lignes de $$B$$. On peut donc calculer $$A\times B$$.
Soient $$A=\left(\begin{array}{ccc} {\red{1}} & {\red{0}} & {\red{2}} \\ {\blue{-1}} & {\blue{3}} & {\blue{4}} \\ {\orange{0}} & {\orange{0}} & {\orange{1}} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{ccc} {\pink{2}} & {\purple{4}} & {\green{0}} \\ {\pink{0}} & {\purple{-2}} & {\green{3}} \\ {\pink{1}} & {\purple{2}} & {\green{1}} \end{array}\right)$$ .
Il vient alors que :
$$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {\red{1}} & {\red{0}} & {\red{2}} \\ {\blue{-1}} & {\blue{3}} & {\blue{4}} \\ {\orange{0}} & {\orange{0}} & {\orange{1}} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {\red{1}\times \pink{2}+\red{0}\times \pink{0}+\red{2}\times \pink{1}} & {\red{1}\times \purple{4}+\red{0}\times \left(\purple{-2}\right)+\red{2}\times \purple{2}} & {\red{1}\times \green{0}+\red{0}\times \green{3}+\red{2}\times \green{1}} \\ {\left(\blue{-1}\right)\times \pink{2}+\blue{3}\times \pink{0}+\blue{4}\times \pink{1}} & {\left(\blue{-1}\right)\times \purple{4}+\blue{3}\times \left(\purple{-2}\right)+\blue{4}\times \purple{2}} & {\left(\blue{-1}\right)\times \green{0}+\blue{3}\times \green{3}+\blue{4}\times \green{1}} \\ {\orange{0}\times \pink{2}+\orange{0}\times \pink{0}+\orange{1}\times \pink{1}} & {\orange{0}\times \purple{4}+\orange{0}\times \left(\purple{-2}\right)+\orange{1}\times \purple{2}} & {\orange{0}\times\green{0}+\orange{0}\times\green{3}+\orange{1}\times\green{1}} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {\pink{2}} & {\purple{4}} & {\green{0}} \\ {\pink{0}} & {\purple{-2}} & {\green{3}} \\ {\pink{1}} & {\purple{2}} & {\green{1}} \end{array}\right)}$$

$$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {-1} & {3} & {4} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {4} & {8} & {2} \\ {2} & {-2} & {13} \\ {1} & {2} & {1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {0} \\ {0} & {-2} & {3} \\ {1} & {2} & {1} \end{array}\right)}$$
Il en résulte donc que :

$$A$$ est une matrice à $$2$$ lignes et $$2$$ colonnes.
$$B$$ est une matrice à $$3$$ lignes et $$3$$ colonnes.
Le nombre de colonnes de $$A$$ $$\red{\text{n'est pas égale}}$$ au nombre de lignes de $$B$$. On $$\red{\text{ne peut donc pas}}$$ calculer $$A\times B$$.

$$A$$ est une matrice à $$3$$ lignes et $$3$$ colonnes. On dit que $$A$$ est une matrice carrée d'ordre $$3$$.
$$B$$ est une matrice à $$3$$ lignes et $$2$$ colonnes. On dit que $$B$$ est une matrice carrée d'ordre $$3$$.
Le nombre de colonnes de $$A$$ est égale au nombre de lignes de $$B$$. On peut donc calculer $$A\times B$$.
Soient $$A=\left(\begin{array}{ccc} {\red{-1}} & {\red{1}} & {\red{-4}} \\ {\blue{0}} & {\blue{1}} & {\blue{-1}} \\ {\orange{3}} & {\orange{-2}} & {\orange{-3}} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{ccc} {\pink{0}} & {\purple{1}} \\ {\pink{-2}} & {\purple{1}} \\ {\pink{-1}} & {\purple{3}} \end{array}\right)$$ .
Il vient alors que :
$$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {\red{-1}} & {\red{1}} & {\red{-4}} \\ {\blue{0}} & {\blue{1}} & {\blue{-1}} \\ {\orange{3}} & {\orange{-2}} & {\orange{-3}} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {\left(\red{-1}\right)\times \pink{0}+\red{1}\times \left(\pink{-2}\right)+\left(\red{-4}\right)\times \left(\pink{-1}\right)} & {\left(\red{-1}\right)\times \purple{1}+\red{1}\times \purple{1}+\left(\red{-4}\right)\times \purple{3}} \\ {\blue{0}\times \pink{0}+\blue{1}\times \left(\pink{-2}\right)+\left(\blue{-1}\right)\times \left(\pink{-1}\right)} & {\blue{0}\times \purple{1}+\blue{1}\times \purple{1}+\left(\blue{-1}\right)\times \purple{3}} \\ {\orange{3}\times \pink{0}+\left(\orange{-2}\right)\times \left(\pink{-2}\right)+\left(\orange{-3}\right)\times \left(\pink{-1}\right)} & {\orange{3}\times \purple{1}+\left(\orange{-2}\right)\times \purple{1}+\left(\orange{-3}\right)\times \purple{3}} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {\pink{0}} & {\purple{1}} \\ {\pink{-2}} & {\purple{1}} \\ {\pink{-1}} & {\purple{3}} \end{array}\right)}$$

$$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {-1} & {1} & {-4} \\ {0} & {1} & {-1} \\ {3} & {-2} & {-3} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {2} & {-12} \\ {-1} & {-2} \\ {7} & {-8} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} \\ {-2} & {1}\\ {-1} & {3} \end{array}\right)}$$
Il en résulte donc que :