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Montrer qu'une matrice est nilpotente - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit A∈M2(K)A \in \mathscr{M}_2 \left(\mathbb{K}\right) tel que A=(0050)A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 \\ 5 & 0 \end{array}\right) . Montrer que AA est nilpotente.

Correction
    Matrice nilpotente
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) . On dit que AA est nilpotente s'il existe un entier pp non nul tel que : Ap=0A^p=0 .
  • Le plus petit entier kk tel que Ak=0A^k=0 s’appelle l’indice de nilpotence de AA.
    • Soit A=(0050)A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 \\ 5 & 0 \end{array}\right)
    On a : A2=(0000)A^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)
    Ainsi, pour tout p∈Np\in \mathbb{N}, tel que p≥2p\ge 2, on aura :
    Ap=0A^p=0
    .
    AA est une matrice nilpotente d'indice 22 .
    Question 2

    Soit A∈M3(K)A \in \mathscr{M}_3 \left(\mathbb{K}\right) tel que A=(000200030)A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{array}\right) . Montrer que AA est nilpotente.

    Correction
      Matrice nilpotente
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) . On dit que AA est nilpotente s'il existe un entier pp non nul tel que : Ap=0A^p=0 .
  • Le plus petit entier kk tel que Ak=0A^k=0 s’appelle l’indice de nilpotence de AA.
    • Soit A=(000200030)A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{array}\right)
    On a :
    A2=(000000600)A^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{array}\right)
    A3=(000000000)A^3=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
    Ainsi, pour tout p∈Np\in \mathbb{N}, tel que p≥3p\ge 3, on aura :
    Ap=0A^p=0
    .
    AA est une matrice nilpotente d'indice 33 .
    Question 3

    Soit A∈M3(K)A \in \mathscr{M}_3 \left(\mathbb{K}\right) tel que A=(05000−3000)A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) . Montrer que AA est nilpotente.

    Correction
      Matrice nilpotente
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) . On dit que AA est nilpotente s'il existe un entier pp non nul tel que : Ap=0A^p=0 .
  • Le plus petit entier kk tel que Ak=0A^k=0 s’appelle l’indice de nilpotence de AA.
    • Soit A=(05000−3000)A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
    On a :
    A2=(00−15000000)A^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & -15 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
    A3=(000000000)A^3=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
    Ainsi, pour tout p∈Np\in \mathbb{N}, tel que p≥3p\ge 3, on aura :
    Ap=0A^p=0
    .
    AA est une matrice nilpotente d'indice 33 .