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Maths Sup / L1
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Calcul matriciel
Montrer qu'une matrice est nilpotente - Exercice 1
10 min
15
Question 1
Soit
A
∈
M
2
(
K
)
A \in \mathscr{M}_2 \left(\mathbb{K}\right)
A
∈
M
2
(
K
)
tel que
A
=
(
0
0
5
0
)
A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 \\ 5 & 0 \end{array}\right)
A
=
(
0
5
0
0
)
. Montrer que
A
A
A
est nilpotente.
Correction
Matrice nilpotente
Soit
A
∈
M
n
(
K
)
A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right)
A
∈
M
n
(
K
)
. On dit que
A
A
A
est nilpotente s'il existe un entier
p
p
p
non nul tel que :
A
p
=
0
A^p=0
A
p
=
0
.
Le plus petit entier
k
k
k
tel que
A
k
=
0
A^k=0
A
k
=
0
s’appelle l’indice de nilpotence de
A
A
A
.
Soit
A
=
(
0
0
5
0
)
A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 \\ 5 & 0 \end{array}\right)
A
=
(
0
5
0
0
)
On a :
A
2
=
(
0
0
0
0
)
A^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)
A
2
=
(
0
0
0
0
)
Ainsi, pour tout
p
∈
N
p\in \mathbb{N}
p
∈
N
, tel que
p
≥
2
p\ge 2
p
≥
2
, on aura :
A
p
=
0
A^p=0
A
p
=
0
.
A
A
A
est une matrice nilpotente d'indice
2
2
2
.
Question 2
Soit
A
∈
M
3
(
K
)
A \in \mathscr{M}_3 \left(\mathbb{K}\right)
A
∈
M
3
(
K
)
tel que
A
=
(
0
0
0
2
0
0
0
3
0
)
A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{array}\right)
A
=
⎝
⎛
0
2
0
0
0
3
0
0
0
⎠
⎞
. Montrer que
A
A
A
est nilpotente.
Correction
Matrice nilpotente
Soit
A
∈
M
n
(
K
)
A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right)
A
∈
M
n
(
K
)
. On dit que
A
A
A
est nilpotente s'il existe un entier
p
p
p
non nul tel que :
A
p
=
0
A^p=0
A
p
=
0
.
Le plus petit entier
k
k
k
tel que
A
k
=
0
A^k=0
A
k
=
0
s’appelle l’indice de nilpotence de
A
A
A
.
Soit
A
=
(
0
0
0
2
0
0
0
3
0
)
A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{array}\right)
A
=
⎝
⎛
0
2
0
0
0
3
0
0
0
⎠
⎞
On a :
A
2
=
(
0
0
0
0
0
0
6
0
0
)
A^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{array}\right)
A
2
=
⎝
⎛
0
0
6
0
0
0
0
0
0
⎠
⎞
A
3
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
A^3=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
A
3
=
⎝
⎛
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎠
⎞
Ainsi, pour tout
p
∈
N
p\in \mathbb{N}
p
∈
N
, tel que
p
≥
3
p\ge 3
p
≥
3
, on aura :
A
p
=
0
A^p=0
A
p
=
0
.
A
A
A
est une matrice nilpotente d'indice
3
3
3
.
Question 3
Soit
A
∈
M
3
(
K
)
A \in \mathscr{M}_3 \left(\mathbb{K}\right)
A
∈
M
3
(
K
)
tel que
A
=
(
0
5
0
0
0
−
3
0
0
0
)
A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
A
=
⎝
⎛
0
0
0
5
0
0
0
−
3
0
⎠
⎞
. Montrer que
A
A
A
est nilpotente.
Correction
Matrice nilpotente
Soit
A
∈
M
n
(
K
)
A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right)
A
∈
M
n
(
K
)
. On dit que
A
A
A
est nilpotente s'il existe un entier
p
p
p
non nul tel que :
A
p
=
0
A^p=0
A
p
=
0
.
Le plus petit entier
k
k
k
tel que
A
k
=
0
A^k=0
A
k
=
0
s’appelle l’indice de nilpotence de
A
A
A
.
Soit
A
=
(
0
5
0
0
0
−
3
0
0
0
)
A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
A
=
⎝
⎛
0
0
0
5
0
0
0
−
3
0
⎠
⎞
On a :
A
2
=
(
0
0
−
15
0
0
0
0
0
0
)
A^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & -15 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
A
2
=
⎝
⎛
0
0
0
0
0
0
−
15
0
0
⎠
⎞
A
3
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
A^3=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
A
3
=
⎝
⎛
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎠
⎞
Ainsi, pour tout
p
∈
N
p\in \mathbb{N}
p
∈
N
, tel que
p
≥
3
p\ge 3
p
≥
3
, on aura :
A
p
=
0
A^p=0
A
p
=
0
.
A
A
A
est une matrice nilpotente d'indice
3
3
3
.