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Calcul matriciel
Matrices échelonnées - Exercice 1
5 min
10
Indiquez si les matrices ci-dessous sont échelonnées.
Question 1
A
=
(
1
3
1
0
2
5
0
0
−
3
)
A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {3} & {1} \\ {0} & {2} & {5} \\ {0} & {0} & {-3} \end{array}\right)
A
=
⎝
⎛
1
0
0
3
2
0
1
5
−
3
⎠
⎞
Correction
Soit
A
∈
M
n
p
(
K
)
A\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right)
A
∈
M
n
p
(
K
)
. La matrice
A
A
A
est échelonnée (en lignes) si :
chaque ligne non nulle de
A
A
A
commence avec strictement plus de
0
0
0
que la ligne précédente;
en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
La matrice
A
A
A
est bien une
matrice échelonnée.
Question 2
B
=
(
1
3
1
7
−
1
−
2
0
2
4
)
B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {3} & {1} \\ {7} & {-1} & {-2} \\ {0} & {2} & {4} \end{array}\right)
B
=
⎝
⎛
1
7
0
3
−
1
2
1
−
2
4
⎠
⎞
Correction
Soit
A
∈
M
n
p
(
K
)
A\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right)
A
∈
M
n
p
(
K
)
. La matrice
A
A
A
est échelonnée (en lignes) si :
chaque ligne non nulle de
A
A
A
commence avec strictement plus de
0
0
0
que la ligne précédente;
en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
La matrice
B
B
B
n'est pas échelonnée.
Question 3
C
=
(
1
3
−
1
0
2
5
0
0
0
)
C=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {3} & {-1} \\ {0} & {2} & {5} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)
C
=
⎝
⎛
1
0
0
3
2
0
−
1
5
0
⎠
⎞
Correction
Soit
A
∈
M
n
p
(
K
)
A\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right)
A
∈
M
n
p
(
K
)
. La matrice
A
A
A
est échelonnée (en lignes) si :
chaque ligne non nulle de
A
A
A
commence avec strictement plus de
0
0
0
que la ligne précédente;
en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
La matrice
C
C
C
est bien une
matrice échelonnée.
Question 4
D
=
(
1
3
−
1
0
0
5
0
1
1
)
D=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {3} & {-1} \\ {0} & {0} & {5} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)
D
=
⎝
⎛
1
0
0
3
0
1
−
1
5
1
⎠
⎞
Correction
Soit
A
∈
M
n
p
(
K
)
A\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right)
A
∈
M
n
p
(
K
)
. La matrice
A
A
A
est échelonnée (en lignes) si :
chaque ligne non nulle de
A
A
A
commence avec strictement plus de
0
0
0
que la ligne précédente;
en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
La matrice
D
D
D
n'est pas échelonnée.
Question 5
E
=
(
1
3
−
1
3
−
1
0
0
5
3
−
1
0
0
0
0
−
1
)
E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {3} & {-1}& {3} & {-1} \\ {0} & {0} & {5} & {3} & {-1}\\ {0} & {0} & {0}& {0} & {-1} \end{array}\right)
E
=
⎝
⎛
1
0
0
3
0
0
−
1
5
0
3
3
0
−
1
−
1
−
1
⎠
⎞
Correction
Soit
A
∈
M
n
p
(
K
)
A\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right)
A
∈
M
n
p
(
K
)
. La matrice
A
A
A
est échelonnée (en lignes) si :
chaque ligne non nulle de
A
A
A
commence avec strictement plus de
0
0
0
que la ligne précédente;
en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
La matrice
E
E
E
est bien une
matrice échelonnée.
Question 6
F
=
(
−
2
3
4
6
0
0
9
3
0
1
−
2
5
)
F=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {3} & {4}& {6} \\ {0} & {0} & {9} & {3}\\ {0} & {1} & {-2}& {5} \end{array}\right)
F
=
⎝
⎛
−
2
0
0
3
0
1
4
9
−
2
6
3
5
⎠
⎞
Correction
Soit
A
∈
M
n
p
(
K
)
A\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right)
A
∈
M
n
p
(
K
)
. La matrice
A
A
A
est échelonnée (en lignes) si :
chaque ligne non nulle de
A
A
A
commence avec strictement plus de
0
0
0
que la ligne précédente;
en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
La matrice
F
F
F
n'est pas échelonnée.