Matrices

$${\color{red}{\clubsuit\,\, \bf{Premières \,\, notions \,\, sur \,\, les \,\, matrices}}}$$
$$\,\,\,\,{\color{blue}{1) \,\, \bf{Définition \,\, des \,\, matrices}}}$$
Soient $$n$$ et $$p$$ deux nombres entiers naturels non nuls.
On désigne par $$\mathbb{K}$$ les ensembles $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$.
On appelle $$matrice$$ de taille $$(n\,;\,p)$$ (ce qui signifie matrice à $$n$$ lignes et $$p$$ colonnes) tout tableau rectangulaire qui contient $$n \times p$$ éléments de $$\mathbb{K}$$ qui est constitué de $$n$$ lignes et $$p$$ colonnes. Il est usuelle de noter ce tableau entre parenthèse.
En général, on désigne par $$a_{i,j}$$ l'élément de la matrice qui se trouve être commun, donc à la croisée, à la ligne numéro $$i$$ et à la colonne numéro $$j$$, avec $$1 \leqslant i \leqslant n$$ et $$1 \leqslant j \leqslant p$$.
On note ceci :
$$M = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,p} \end{pmatrix}$$
Lorsque $$n=p$$, c'est-à-dire que la matrice à autant de lignes que de colonnes, ont dit que la matrice est $${\color{red}{carrée}}$$.
Par exemple la matrice $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$$ est une matrice, à éléments réels, de taille $$(3\,;\,3)$$, donc carrée.
$$\looparrowright$$ Une matrice qui n'a qu'une seule colonne s'appelle une $$matrice \,\, colonne$$. Par exemple la matrice $$C = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}$$. D'ailleurs, une matrice colonne est souvent l'écriture adoptée pour définir un vecteur au travers de ses composantes.
$$\looparrowright$$ Une matrice qui n'a qu'une seule ligne s'appelle une $$matrice \,\, ligne$$. Par exemple la matrice $$L = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{2) \,\, \bf{Egalité \,\, de \,\, deux \,\, matrices}}}$$
Deux matrices sont dites $$égales$$ si elles ont même taille les mêmes coefficients.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{3) \,\, \bf{Ensemble \,\, des \,\, matrices}}}$$
On note mar $$\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$$ l'ensemble des matrices à $$n$$ lignes et $$p$$ colonnes à coefficients dans $$\mathbb{K}h$$.
Dans le cas des matrices carrées, c'est-à-dire lorsque $$n=p$$, on note mar $$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$ l'ensemble des matrices à $$n$$ lignes et $$n$$ colonnes à coefficients dans $$\mathbb{K}$$.
Par exemple, avec les matrices ci-dessus, on a $$A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{K})$$, $$C \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$$ et $$L \in \mathcal{M}_{1,3}(\mathbb{R})$$.
En notant par $$i^2 = 1$$, on a $$D = \begin{pmatrix} 0 & i & 1+i & 2+2i \\ 1 & 2 & 1-i & 4+3i \\ 2 & i & -i & 3i \\ 2-i & 2+i & -3i & \sqrt{2}-4i \\ 1+5i & 5+i & -4i & \pi + 3i \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{5,4}(\mathbb{C})$$.
$${\color{red}{\clubsuit \clubsuit \,\, \bf{Opérations \,\, sur \,\, les \,\, matrices}}}$$
$$\,\,\,\,{\color{blue}{1) \,\, \bf{Addition \,\, de \,\, deux \,\, matrices}}}$$
On ne peut additionner que des matrices qui ont la même taille.
Si deux matrices $$A$$ et $$B$$ sont de même taille, alors leur somms $$S = A+B$$ se calcule en effectuant les sommes des éléments, de $$A$$ et de $$B$$, de même position et inscrite dans $$S$$ à cette même position.
Par exemple :
Si $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$$ et $$B = \begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 20 & 21 & 22 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$$ alors on a $$S = A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 20 & 21 & 22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 13 & 15 \\ 24 & 26 & 28 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$$ également.
On constate alors que $$A + B = B + A$$. L'addition matricielle est $$commutative$$.
$$\looparrowright$$ L'addition que l'on vient de définir dans l'ensemble $$\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$$ à la structure algébrique d'un $$groupe \,\, commutatif$$ (on dit aussi groupe $$abélien$$). L'élément neutre de ce groupe est la matrice nulle $$\mathcal{O}_{n,p}$$ dont tous les éléments sont $$0$$. On définit l'opposé d'une matrice $$M$$, que l'on note $$-M$$, en prennant l'opposé de tous les éléments constitutifs de la matrice $$M$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{2) \,\, \bf{Multiplication \,\, d'une \,\, matrice \,\, par \,\, un \,\, scalaire}}}$$
Soit $$\lambda$$ un scalaire appartenant à $$\mathbb{K}$$ et $$M$$ une matrice de $$\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$$ dont les éléments seront notés $$a_{i,j}$$, avec $$1 \leqslant i \leqslant n$$ et $$1 \leqslant j \leqslant p$$.
On définit $$\lambda M = \lambda \times M$$ en multipliant chaque élément $$a_{i,j}$$ constitutif de $$M$$ par le scalaire $$\lambda$$ pour donner naissance à l'élément $$\lambda a_{i,j} = \lambda \times a_{i,j}$$.
Par exemple, si $$\lambda = 2$$ et $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$ alors $$2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \end{pmatrix}$$.
Soient $$\lambda$$ et $$\mu$$ deux scalaires appartenants à $$\mathbb{K}$$. Soient $$A$$ et $$B$$ deux matrices de $$\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$$. On a les propriétés calculatoires suivantes :
$$\bullet \,\, (\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$$
$$\bullet \bullet \,\, \lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\, (\lambda \mu)A = \lambda (\mu A)$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, 1A = A$$
$$\,\,\,\,{\color{blue}{3) \,\, \bf{Multiplication \,\, de \,\, deux \,\, matrices \,\, entre \,\, elles}}}$$
Pour pouvoir multiplier deux matrices entre elle il faut nécessairement que :
$${\color{red}{\bf{le \,\, nombre \,\, de \,\, colonne \,\, de \,\, la \,\, première \,\, matrice}}} {\color{red}{\bf{soit \,\, égal \,\, au \,\, nombre \,\, de \,\, ligne \,\, de \,\, la}}}$$ $${\color{red}{\bf{ \,\, deuxième \,\, matrice}}}$$.
Soit la matrice $$A \in \mathcal{M}_{n,{\color{blue}{\bf{p}}}}(\mathbb{K})$$ dont les éléments sont $$a_{i,j}$$, avec $$1 \leqslant i \leqslant n$$ et $$1 \leqslant j \leqslant p$$.
Soit la matrice $$B \in \mathcal{M}_{{\color{blue}{\bf{p}}},q}(\mathbb{K})$$ dont les éléments sont $$b_{i,j}$$, avec $$1 \leqslant i \leqslant n$$ et $$1 \leqslant j \leqslant p$$.
La matrice $$P$$, égale produit $$A B = A \times B \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})$$ et ces éléments sont notés $$p_{ij}$$ et valent :
$$p_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} \times b_{k,j}$$
Ainsi, l'élément de la matrice produit $$P=AB$$ qui se trouve à la croisée de la ligne $$i$$ et de la colonne $$j$$ se calcule en additionnant tous les produits entre les éléments, de la même position, de la ligne numéro $$i$$ de la matrice $$A$$ (la première) et de la colonne $$j$$ de la matrice $$B$$ (la deuxième).
$$\looparrowright \,\,$$ Par exemple :
Si $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$$ et $$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$ alors le produit $$A \times B$$ est possible car la matrice $$A$$ à trois colonnes et la matrice $$B$$ à trois lignes. On a alors :
$$P = A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 4 + 3 \times 7 & 1 \times 2 + 2 \times 5 + 3 \times 8 \\ 4 \times 1 + 5 \times 4 + 6 \times 7 & 4 \times 2 + 5 \times 5 + 6 \times 8 \\ 7 \times 1 + 8 \times 4 + 9 \times 7 & 7 \times 2 + 8 \times 5 + 9 \times 8 \end{pmatrix}$$
Donc on obtient :
$$P = A \times B = \begin{pmatrix} 1 + 8 + 21 & 2 + 10 + 24 \\ 4 + 20 + 42 & 8 + 25 + 48 \\ 7 + 32 + 63 & 14 + 40 + 72 \end{pmatrix}$$
Ce qui nous donne :
$$P = A \times B = \begin{pmatrix} 30 & 36 \\ 66 & 81 \\ 102 & 126 \end{pmatrix}$$
Puis, on constate que le produit $$B \times A$$ n'est pas possible car la matrice $$B$$ à deux colonnes mais la matrice $$A$$ possède trois lignes.
On comprend alors que le produit de deux matrices dépend de l'ordre des matrices ! On dit que le $${\color{red}{\bf{produit \,\, matriciel}}}$$ n'est $${\color{red}{\bf{pas \,\, commutatif}}}$$.
Si, pour deux matrices $$A$$ et $$B$$, on constate que $${\color{blue}{A \times B = B \times A}}$$ alors ont dit que les deux matrices $$A$$ et $$B$$ sont $${\color{blue}{\bf{commutatives}}}$$.
$$\looparrowright \,\,$$ L'exemple qui suit est classique mais particulièrement intéressant. On pose $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ et $$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$.
On constate que :
$$A \times B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$
$$B \times A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathcal{O}_2$$
Ainsi, sans que les deux matrices carrées $$A$$ et $$B$$ soit nulle, leur produit peut-être nul. Dans ce cas, on dit que les matrices $$A$$ et $$B$$ sont $$divisur \,\ de \,\, zéro$$. On dit aussi que l'ensemble $$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$ n'est pas intègre. Cela signifie que $$BA = \mathcal{O}_n$$ n'entraine pas que $$B = \mathcal{O}_n$$ ou $$A = \mathcal{O}_n$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{3) \,\, \bf{Propriétés \,\, de \,\, la \,\, multiplication \,\, matricielle }}}$$
On considère trois matrices $$M$$, $$N$$ et $$P$$ et $$\lambda \in \mathbb{K}$$. Lorsque les produits matriciels sont possibles, on a les propriétés calculatoires suivantes :
$$\bullet \,\, (M + N)P = MP + NP$$
$$\bullet \bullet \,\, M(N + P) = MN + MP$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\, \lambda (MN) = (\lambda M) N = M (\lambda N)$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, MNP = (MN)P = M(NP)$$
$$\,\,\,\,{\color{blue}{4) \,\, \bf{La \,\, matrice \,\, unité }}}$$
La $${\color{red}{\bf{matrice \,\, unité}}}$$, encore appelée $${\color{red}{\bf{matrice \,\, identité}}}$$, est une $${\color{red}{\bf{matrice \,\, carrée }}}$$ dont les seuls éléments non nuls se trouvent sur la diagonale principale (celle qui débute en haut à gauche et qui se termine en bas à droite) et qui valent tous $$1$$. On la note $$I_n$$. On a alors :
$$I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Cette matrice unité $$I_n$$ est l'élément neutre de l'ensemble $$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$.
Ainsi, si $$A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$ alors $$A = A I_n = I_n A$$.
Si $$p$$ est un nombre entier naturel alors $$I_n^p = I_n$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{5) \,\, \bf{Puissance \,\, d'une \,\, matrice }}}$$
Soit $$A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$ et $$p$$ un nombre entier naturel non nul. On a :
$$\bullet \,\, A^0 = I_n$$
$$\bullet \bullet \,\, A^p = \underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{p \,\ fois}$$
$$\looparrowright \,\,$$ Si on considère une matrice carrée $$A$$ non nulle qui satisfait à $$A^p = \mathcal{O}_n$$. Une telle matrice est dite $${\color{red}{\bf{nilpotente}}}$$. Le plus petit entier $$p$$ qui permet d'obtenir $$A^p = \mathcal{O}_n$$ s'appelle $${\color{red}{\bf{l'indice \,\, de \,\, nilpotence}}}$$.
L'exemple le plus classique étant $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ce qui implique que $$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathcal{O}_2$$. L'indice de nilpotence est ici égal à $$2$$.
$$\looparrowright \,\,$$ Soient $$a$$, $$b$$ et $$c$$ trois nombres réels. Si on a le polynôme d'ordre $$2$$ suivant $$P(x) = ax^2 + bx + c$$ alors, pour une matrice $$A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$, on doit écrire : $$P(A) = aA^2 + bA + cI_n$$.
$$\looparrowright \,\,$$ Si la matrice $$A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$ est une racine du polynôme $$\color{red}{P}$$ alors $${\color{red}{P}}(A)= \mathcal{O}_n$$. On dit alors que $$\color{red}{P}$$ est $${\color{red}{\bf{un \,\, polynôme \,\, annulateur}}}$$ pour $$A$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{6) \,\, \bf{Transposition}}}$$
Soit $$M$$ une matrice de $$\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$$. On note sa transposée par $$^tM$$ qui elle va appartenir à l'ensemble $$\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})$$. Pour construire la matrice transposée $$^tM$$ il suffit de prendre, successivement, les lignes de $$M$$ et de les recopier, successivement, en colonne.
Par exemple, si $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$ alors $$^t M = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{pmatrix}$$
On note par $$A$$ et $$B$$ deux matrices de $$\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$$ et par $$\lambda$$ et $$\mu$$ deux scalaires de $$\mathbb{K}$$. On a alors :
$$^t(\lambda A + \mu B) = \lambda \, ^tA + \mu \, ^tB$$
De plus, si $$A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$$ et $$B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$$, alors on a la relation :
$$^t(AB) = \,\ ^tB \times \, ^tA$$
$${\color{red}{\clubsuit \clubsuit \clubsuit \,\, \bf{Le \,\, binôme \,\, de \,\, Newton}}}$$
$$\,\,\,\,{\color{blue}{1) \,\, \bf{Introduction}}}$$
Soit $$A$$ et $$B$$ deux matrices carrées de l'ensemble $$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$. Si les deux matrices $$A$$ et $$B$$ ne commutent pas (c'est-à-dire si $$AB \neq BA$$ alors on a :
$$(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$$
Donc on doit impérativement tenir compte de l'ordre des facteurs.
Si maintenant on admet que les deux matrices carrées $$A$$ et $$B$$ commutent entre elles alors on a :
$$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$$
L'hypothèse de commutativité des deux matrices est nécessaire afin de retrouver des relations habituelles comme celles dans $$\mathbb{K}$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{2) \,\, \bf{Formule}}}$$
Soient $$A$$ et $$B$$ deux matrices carrées appartenant à l'ensemble $$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$. On admet, par hypothèse, que les deux matrices $$A$$ et $$B$$ commutent entre elles. On désigne par $$n$$ un nombre entier naturel. On a alors :
$$(A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) A^k B^{n-k}$$
Avec $$\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) = C_n^k = \dfrac{n !}{k ! \, (n-k) !}$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{3) \,\, \bf{Exemple \,\, d'usage}}}$$
On note par $$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$$ et on désigne par $$n$$ un nombre entier naturel. On constate que :
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, B = I_2 + A$$
avec $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ce qui implique que $$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathcal{O}_2$$.
De fait, on a :
$$B^n = (I_2 + A)^n = (A + I_2)^n = \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) A^k I_2^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) A^k I_2 = \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) A^k$$
En tenant compte de la nilpotence de $$A$$, on obtient :
$$B^n = \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right) A^0 + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right) A^1 = \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right) I_2 + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right) A = 1 \, I_2 + n \, A = I_2 + n \, A$$
Donc :
$$B^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + n \, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & n \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Finalement :
$$B^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$${\color{red}{\clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \,\, \bf{Matrice \,\, carrée \,\, inversible }}}$$
$$\,\,\,\,{\color{blue}{1) \,\, \bf{Définition}}}$$
Soit $$M$$ un matrice carrée de l'ensemble $$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$. Cette matrice $$M$$ est dite inversible s'il existe une matrice $$V \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$ qui permet d'écrire $$M \times V = V \times M = I_n$$. Dans ce cas, la matrice $$V$$ est appelée $${\color{red}{\bf{la \,\, matrice \,\, inverse}}}$$ de $$M$$ et se note $$M^{-1}$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{2) \,\, \bf{Cas \,\, particulier \,\ de \,\, la \,\, matrice \,\, unité}}}$$
Il est évident que l'on a $$I_n \times I_n = I_n$$. De fait cela implique que $$I_n^{-1} = I_n$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{3) \,\, \bf{Cas \,\, particulier \,\ des \,\, matrices \,\, carrés \,\, de \,\, taille \,\, 2}}}$$
Soit $$a$$, $$b$$, $$c$$ et $$d$$ quatre nombres réels qui satisfont à la condition $$ad \neq bc$$. Dans ce cas, on a la formule suivante (et très pratique car simple) :
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
Le terme $$ad - bc$$ est le déterminant de la matrice $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ et se note : $$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{4) \,\, \bf{Utilisation \,\, d'un \,\ polynôme \,\, annulateur }}}$$
Nous allons illustrer la méthode sur un exemple concret.
On considère $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -6 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$$.
On admet que le polynôme $$P : x \longmapsto P(x) = -x^3 + 4x^2 - 5x + 2$$ est un polynôme annulateur de la matrice $$A$$.
De fait, on a :
$$P(A) = \mathcal{O}_3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -A^3 + 4A^2 - 5A + 2I_3 = \mathcal{O}_3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A^3 - 4A^2 + 5A = 2I_3$$
Donc :
$$\dfrac{1}{2}\left( A^3 - 4A^2 + 5A\right) = I_3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2}\left( A^3 - 4A^2 + 5AI_3\right) = I_3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A \times \dfrac{1}{2}\left( A^2 - 4A + 5I_3 \right) = I_3$$
Mais, on sait que si $$A^{-1}$$ existe bien, alors $$A \times A^{-1} = I_3$$. Par identification, on a immédiatement l'expression suivante :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{2}\left( A^2 - 4A + 5I_3 \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A^{-1} = \dfrac{1}{2}\left( A \times A - 4A + 5I_3 \right)$$
Soit :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{2}\left( \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -6 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -6 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} - 4\begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -6 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right)$$
Finalement, on trouve que :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 1 \\ 10 & 6 & -2 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$
$$\,\,\,\,{\color{blue}{5) \,\, \bf{Inverse \,\, d'une \,\ matrice \,\, par \,\, inversion \,\, d'un \,\, système \,\, linéaire }}}$$
Le principe de cette méthode est le suivant.
Soit $$n$$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à deux. Soit $$M$$ une matrice carrée appartenant à l'ensemble $$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$. On suppose que cette matrice $$M$$ soit inversible.
On désigne par $$X$$ et $$Y$$ deux matrices colonnes qui appartiennent à l'ensemble $$\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$$.
On a alors :
$$Y = MX \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, M^{-1} Y = M^{-1}MX \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, M^{-1} Y = I_n X \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, M^{-1} Y = X$$
Dans la pratique, il suffit de poser $$X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$ et $$Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{6) \,\, \bf{Exemple }}}$$
Illustrons cette méthode avec la matrice $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -6 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$$. On a :
$$Y = A X \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -6 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} y_1 & = & 4 x_1 + x_2 - x_3 \\ y_2 & = & -6 x_1 - x_2 + 2 x_3 \\ y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ y_1 & = & 4 x_1 + x_2 - x_3 \\ y_2 & = & -6 x_1 - x_2 + 2 x_3 \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ 2y_3 - y_1 & = & 0 x_1 + x_2 + 3 x_3 \\ 3y_3 + y_2 & = & 0 x_1 + 2 x_2 + 5 x_3 \end{array} \right.$$
Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ 2(2y_3 - y_1) & = & 0 x_1 + 2 x_2 + 6 x_3 \\ 3y_3 + y_2 & = & 0 x_1 + 2 x_2 + 5 x_3 \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ 4y_3 - 2y_1 & = & 0 x_1 + 2 x_2 + 6 x_3 \\ (4y_3 - 2y_1) - (3y_3 + y_2) & = & 0 x_1 + 0 x_2 + x_3 \end{array} \right.$$
Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ 4y_3 - 2y_1 & = & 0 x_1 + 2 x_2 + 6 x_3 \\ -2 y_1 - y_2 + y_3 & = & x_3 \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ 4y_3 - 2y_1 & = & 0 x_1 + 2 x_2 + 6 (-2 y_1 - y_2 + y_3) \\ -2 y_1 - y_2 + y_3 & = & x_3 \end{array} \right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ 4y_3 - 2y_1 & = & 0 x_1 + 2 x_2 - 12 y_1 - 6y_2 + 6y_3 \\ -2 y_1 - y_2 + y_3 & = & x_3 \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ 10 y_1 + 6 y_2 - 2y_3 & = & 2 x_2 \\ -2 y_1 - y_2 + y_3 & = & x_3 \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + x_2 + x_3 \\ 5 y_1 + 3 y_2 - y_3 & = & x_2 \\ -2 y_1 - y_2 + y_3 & = & x_3 \end{array} \right.$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_3 & = & 2 x_1 + 5 y_1 + 3 y_2 - y_3 - 2 y_1 - y_2 + y_3 \\ 5 y_1 + 3 y_2 - y_3 & = & x_2 \\ -2 y_1 - y_2 + y_3 & = & x_3 \end{array} \right.$$
On obtient alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} - 3 y_1 - 2 y_2 + y_3 & = & 2 x_1 \\ 5 y_1 + 3 y_2 - y_3 & = & x_2 \\ -2 y_1 - y_2 + y_3 & = & x_3 \end{array} \right.$$
De fait on va écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} - 3 y_1 - 2 y_2 + y_3 & = & 2 x_1 \\ 10 y_1 + 6 y_2 - 2 y_3 & = & 2x_2 \\ -4 y_1 - 2 y_2 + 4 y_3 & = & 2x_3 \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} -3 & -2 & 1 \\ 10 & 6 & -2 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$
D'où :
$$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 1 \\ 10 & 6 & -2 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A^{-1} Y = X$$
Avec :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 1 \\ 10 & 6 & -2 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$
On retrouve bien le même résultat qu'avec la méthode précédente du polynôme annulateur.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{7) \,\, \bf{Méthode \,\, avec \,\, la \,\, comatrice }}}$$
Nous allons présenter la méthode générale pour inverser une matrice. Cependant elle est fastidieuse à mettre en place. Cette méthode repose essentiellement sur la maîtrise du calcul de déterminant.
Soit $$n$$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à $$2$$. Soit $$i$$ et $$j$$ deux nombres entiers naturels compris entre $$1$$ et $$n$$.
On désigne par $$A$$ une matrice de l'ensemble $$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$$.
On notera par $$a_{i,j}$$ les éléments constitutifs de la matrice $$A$$.
On désignera par $$A_{ij}$$ la matrice obtenue, à partir de $$A$$, en supprimant la ligne $$i$$ et la colonne $$j$$.
Le déterminant de la matrice $$A_{ij}$$, noté $${\color{blue}{\det A_{ij}}}$$ ou encore $${\color{blue}{|A_{ij}|}}$$, s'appelle le $${\color{blue}{mineur}}$$ de l'élément matriciel $$a_{i,j}$$.
On appelle le $${\color{red}{cofacteur}}$$, de l'élément matriciel $$a_{i,j}$$, le nombre noté $${\color{red}{c_{ij}}}$$ qui vaut $${\color{red}{c_{ij} = (-1)^{i+j} \times {\color{blue}{\det A_{ij}}}}}$$.
On appelle $${\color{green}{comatrice}}$$ de $$A$$, notée $${\color{green}{\mathrm{com}A}}$$, la matrice de l'ensemble de tous $${\color{green}{les \,\, cofacteurs}}$$ de $$A$$.
Si $${\color{red}{\bf{le \,\, déterminant \,\ de \,\, la \,\, matrice \,\, {\it{A}} \,\, est \,\, non \,\, nul}}}$$ alors la matrice inverse $$A^{-1}$$ existe et on a la formule générale suivante :
$${\color{red}{\boxed{A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \times \, ^t\mathrm{com}A }}}$$
$$\,\,\,\,{\color{blue}{8) \,\, \bf{Exemple }}}$$
Illustrons cette méthode avec la matrice $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -6 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$$.
A l'aide de la règle de Sarrus, puisque nous avons une matrice de taille $$(3\,;\,3)$$, on obtient le déterminant de $$A$$. On a :
$$\det A = 4 \times (-1) \times 1 + 1 \times 2 \times 2 + (-1) \times(-6) \times 1 - 2\times (-1) \times (-1) - 1 \times 2 \times 4 - 1 \times (-6) \times 1$$
Soit :
$$\det A = -4 + 4 + 6 - 2 - 8 + 6 = 12 - 10 = 2$$
Il nous faut maintenant déterminer les différents coffacteurs.
$$\bullet \,\,$$ Pour la première ligne :
$$\,\,\,\,\, \star \,\,$$ Pour la première colonne (élément $$4$$)
On a $$c_{11} = (-1)^{1+1} \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1-2=-3$$
$$\,\,\,\,\, \star \star \,\,$$ Pour la deuxième colonne (élément $$1$$)
On a $$c_{12} = (-1)^{1+2} \times \begin{vmatrix} -6 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} -6 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 6+4=10$$
$$\,\,\,\,\, \star \star \star \,\,$$ Pour la troisième colonne (élément $$-1$$)
On a $$c_{13} = (-1)^{1+3} \times \begin{vmatrix} -6 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -6 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -6+2=-4$$
$$\bullet \bullet \,\,$$ Pour la deuxième ligne :
$$\,\,\,\,\, \star \,\,$$ Pour la première colonne (élément $$-6$$)
On a $$c_{21} = (-1)^{2+1} \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1-1=-2$$
$$\,\,\,\,\, \star \star \,\,$$ Pour la deuxième colonne (élément $$-1$$)
On a $$c_{22} = (-1)^{2+2} \times \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4+2=6$$
$$\,\,\,\,\, \star \star \star \,\,$$ Pour la troisième colonne (élément $$2$$)
On a $$c_{23} = (-1)^{2+3} \times \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -4+2=-2$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\,$$ Pour la troisième ligne :
$$\,\,\,\,\, \star \,\,$$ Pour la première colonne (élément $$2$$)
On a $$c_{31} = (-1)^{3+1} \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1=1$$
$$\,\,\,\,\, \star \star \,\,$$ Pour la deuxième colonne (élément $$1$$)
On a $$c_{32} = (-1)^{3+2} \times \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -6 & 2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -6 & 2 \end{vmatrix} = -8+6=-2$$
$$\,\,\,\,\, \star \star \star \,\,$$ Pour la troisième colonne (élément $$1$$)
On a $$c_{33} = (-1)^{3+3} \times \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = -4+6=2$$
Ainsi l'expression de la comatrice de $$A$$ est :
$$\mathrm{com}A = \begin{pmatrix} -3 & 10 & -4 \\ -2 & 6 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, ^t\mathrm{com}A = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 1 \\ 10 & 6 & -2 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$
Ce qui nous permet d'obtenir :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 1 \\ 10 & 6 & -2 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$
On retrouve bien le même résultat qu'avec les deux méthodes précédentes du polynôme annulateur et de l'inversion d'un système.
$${\color{red}{\clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \,\, \bf{Le \,\, rang \,\, d'une \,\, Matrice }}}$$
$$\,\,\,\,{\color{blue}{9) \,\, \bf{Définition }}}$$
L'élimination de $${\it{Gauss-Jordan}}$$, aussi appelée méthode du pivot de $${\it{Gauss}}$$ (en hommage à $$\it{Carl \,\, Friedrich \,\, Gauss}$$ et $$\it{Wilhelm Jordan}$$, est un algorithme qui permet de déterminer les solutions d'un système d'équations linéaires, pour déterminer le rang d'une matrice ou pour calculer l'inverse d'une matrice (carrée) inversible. Lorsqu'on applique l'élimination de Gauss à une matrice, on obtient sa forme échelonnée réduite, souvent appelée $${\color{red}{\bf{ réduite \,\, de \,\, Gauss}}}$$.
On appelle $${\color{red}{\bf{ le \,\, rang }}}$$ d’une matrice $$A$$ le nombre de lignes non entièrement nulles dans sa $${\color{red}{\bf{ réduite \,\, de \,\, Gauss}}}$$. On le note, le plus souvent, par $$\mathrm{rg}(A)$$ ou $$\mathrm{Rg}(A)$$ ou encore $$\mathrm{rang}(A)$$.
$$\,\,\,\,{\color{blue}{10) \,\, \bf{Exemple }}}$$
Illustrons ceci avec la matrice $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -6 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$$. On va commencer par multiplier chaque ligne pour qu'elle débute par $$12$$. On a alors :
$$\begin{pmatrix} 12 & 3 & -3 \\ 12 & 2 & -4 \\ 12 & 6 & 6 \end{pmatrix}$$
Puis, on remplace la deuxième ligne par la première moins la deuxième et concernant le troisième, elle sera remplacée par la première moins la troisième. On a alors :
$$\begin{pmatrix} 12 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -9 \end{pmatrix}$$
On multiplie par $$3$$ la deuxième ligne. On trouve alors :
$$\begin{pmatrix} 12 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & -3 & -9 \end{pmatrix}$$
Puis, on remplace la troisième ligne par la somme de la deuxième avec la troisième. On obtient donc :
$$\begin{pmatrix} 12 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix}$$
C'est une $${\color{red}{\bf{ réduite \,\, de \,\, Gauss}}}$$ associée à $$A$$.
On constate qu'il y a trois lignes non entièrement nulles. De fait, on va donc conclure que $$\mathrm{rang}(A) = 3$$.