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Matrice inverse et polynôme annulateur - Exercice 4

15 min
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Soit M=(1020−111−20)∈M3(R)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \in \mathscr{M}_3(\mathbb{R}).
Question 1

Calculer l'expression de M3−MM^3 -M.

Correction
On a :
∙  M=(1020−111−20)\bullet \,\, M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}
∙∙  M2=M×M=(1020−111−20)×(1020−111−20)=(3−421−1−1120)\bullet \bullet \,\, M^2 = M \times M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}
∙∙∙  M3=M2×M=(3−421−1−1120)×(1020−111−20)=(5020311−24)\bullet \bullet \bullet \,\, M^3 = M^2 \times M = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 4\end{pmatrix}
Ce qui implique que :
M3−M=(5020311−24)−(1020−111−20)=(400040004)=4I3M^3 - M = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 4 I_3
Ainsi :
M3−M−4I3=0M^3 - M -4 I_3=0

Question 2

En déduire que MM est une matrice inversible.

Correction
D'après la question précédente, on a :
M3−M=4I3M^3 - M = 4 I_3
M3−MI3=4I3 M^3 - MI_3 = 4 I_3
M×M2−MI3=4I3 \red{M}\times M^2 - \red{M}I_3 = 4 I_3
    Distributivité du produit par rapport à la somme.
  • A⋅(B+C)=AB+AC\red{A}\cdot\left(B+C\right)=\red{A}B+\red{A}C et (B+C)⋅A=BA+CA\left(B+C\right)\cdot \red{A}=B\red{A}+C\red{A}
    • M(M2−I3)=4I3 \red{M}(M^2-I_3) = 4 I_3
    M×14(M2−I3)=I3 M \times \dfrac{1}{4}(M^2-I_3) = I_3
    Matrice inversible
    • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) .
      AA est inversible si et seulement il existe une unique matrice B∈Mn(K)B \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) tel que : AB=BA=InAB=BA=I_n.
      On appelle BB l’inverse de AA et on la note A−1A^{-1} .
      Remarque : il suffit en fait de vérifier une seule des conditions AB=InAB=I_n ou bien BA=InBA=I_n et on aura alors nécessairement
      A−1=BA^{-1}=B
      .
    Il en résulte donc que :
    Or on sait que M×M−1=I3M \times M^{-1} = I_3. Ainsi, par identification, on obtient :
    M−1=14(M2−I3)M^{-1} = \dfrac{1}{4}(M^2-I_3)

    Question 3

    Calculer l'expression de la matrice inverse M−1M^{-1}.

    Correction
    On a :
    M−1=14(M2−I3)   ⟺   M−1=14((3−421−1−1120)−(100010001))M^{-1} = \dfrac{1}{4}(M^2-I_3) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, M^{-1} = \dfrac{1}{4} \left( \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right)
    Donc :
    M−1=14(M2−I3)   ⟺   M−1=14(3−1−421−1−1−1120−1)M^{-1} = \dfrac{1}{4}(M^2-I_3) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, M^{-1} = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 3-1 & -4 & 2 \\ 1 & -1-1 & -1 \\ 1 & 2 & 0-1 \end{pmatrix}
    Finalement :
    M−1=14(2−421−2−112−1)M^{-1} = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}