Matrice inverse et polynôme annulateur - Exercice 3
10 min
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Soit A∈M2(K) tel que A=(1521) .
Question 1
Calculer A2−2A et en déduire un polynôme annulateur de la matrice A.
Correction
Nous savons que : A=(1521) On vérifie facilement que : A2=(1110411) Finalement :
A2−2A=9I2
Polynômes annulateurs d’une matrice carrée
Soit A∈Mn(K) . On appelle polynôme annulateur de A tout polynôme P∈K[X] pour lequel P(A)=0 .
Comme A2−2A=9I2 alors A2−2A−9I2=0 . Ce qui signifie que P(X)=X2−2X−9 est un polynôme annulateur de la matrice A.
Question 2
En déduire la matrice inverse de A noté A−1 .
Correction
D'après la question 1, nous savons que : A2−2A=9I2 A×A−2A×I2=9I2
Distributivité du produit par rapport à la somme.
A⋅(B+C)=AB+AC et (B+C)⋅A=BA+CA
Il vient alors que : A⋅(A−2I2)=9I2 91⋅A⋅(A−2I2)=I2 D'où :
A⋅[91⋅(A−2I2)]=I2
Matrice inversible
Soit A∈Mn(K) . A est inversible si et seulement il existe une unique matrice B∈Mn(K) tel que : AB=BA=In. On appelle B l’inverse de A et on la note A−1 . Remarque : il suffit en fait de vérifier une seule des conditions AB=In ou bien BA=In et on aura alors nécessairement
A−1=B
.
Il en résulte donc que : A−1=91⋅(A−2I2) A−1=91⋅((1521)−2⋅(1001)) Ainsi :
A−1=(−919592−91)
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