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Matrice inverse et polynôme annulateur - Exercice 2

12 min
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Soit A∈M3(K)A \in \mathscr{M}_3 \left(\mathbb{K}\right) tel que A=(−20021200−2)A=\left( \begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right) .
Question 1

Calculer A2+AA^2+A et en déduire un polynôme annulateur de la matrice AA.

Correction
Nous savons que : A=(−20021200−2)A=\left( \begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right)
On vérifie facilement que : A2=(400−21−2004)A^2=\left( \begin{array}{ccc}4 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)
Ainsi :
A2+A=(400−21−2004)+(−20021200−2)A^2+A=\left( \begin{array}{ccc}4 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right)
A2+A=(200020002)A^2+A=\left( \begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)
A2+A=2(100010001)A^2+A=2\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Ainsi :
A2+A=2I3A^2+A=2I_3
    Polynômes annulateurs d’une matrice carrée
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) . On appelle polynôme annulateur de AA tout polynôme P∈K[X]P \in\mathbb{K}[X] pour lequel P(A)=0P\left(A\right)=0 .
Comme A2+A=2I3A^2+A=2I_3 alors A2+A−2I3=0A^2+A-2I_3=0 .
Ce qui signifie que P(X)=X2+X−2P\left(X\right) = X^2 +X -2 est un polynôme annulateur de la matrice AA.
Question 2

En déduire la matrice inverse de AA noté A−1A^{-1} .

Correction
D'après la question 11, nous savons que :
A2+A=2I3A^2+A=2I_3
A×A+A×I3=2I3\red{A}\times A+\red{A}\times I_3=2I_3
    Distributivité du produit par rapport à la somme.
  • A⋅(B+C)=AB+AC\red{A}\cdot\left(B+C\right)=\red{A}B+\red{A}C et (B+C)⋅A=BA+CA\left(B+C\right)\cdot \red{A}=B\red{A}+C\red{A}
    • Il vient alors que :
    A⋅(A+I3)=2I3\red{A}\cdot\left( A+ I_3\right)=2I_3
    12⋅A⋅(A+I3)=I3\frac{1}{2}\cdot\red{A}\cdot\left( A+ I_3\right)=I_3
    D'où :
    A⋅[12⋅(A+I3)]=I3\red{A}\cdot\left[\frac{1}{2}\cdot\left( A+ I_3\right)\right]=I_3
    Matrice inversible
    • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) .
      AA est inversible si et seulement il existe une unique matrice B∈Mn(K)B \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) tel que : AB=BA=InAB=BA=I_n.
      On appelle BB l’inverse de AA et on la note A−1A^{-1} .
      Remarque : il suffit en fait de vérifier une seule des conditions AB=InAB=I_n ou bien BA=InBA=I_n et on aura alors nécessairement
      A−1=BA^{-1}=B
      .
    Il en résulte donc que :
    A−1=12⋅(A+I3)A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot\left( A+ I_3\right)
    A−1=12⋅((−20021200−2)+(100010001))A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot\left( \left( \begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)
    Ainsi :
    A−1=(−120011100−12)A^{-1}= \left( \begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{array}\right)