Inverse d’une matrice par inversion d’un système linéaire - Exercice 2

10 min

On considère la matrice suivante :

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Question 1

Déterminer, si elle existe, la matrice inverse $A^{-1}$ .

Correction

On note par

X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})

et on désigne par

Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})

.
On pose

Y = AX

ce qui implique que

A^{-1} Y = X

. Donc :

Y = AX \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_1 \end{pmatrix}

Donc :

\begin{pmatrix} y_4 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 0y_1 + 0y_2 + 0y_3 + 1y_4 \\ 1y_1 + 0y_2 + 0y_3 + 0y_4 \\ 0y_1 + 1y_2 + 0y_3 + 0y_4 \\ 0y_1 + 0y_2 + 1y_3 + 0y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix}

Comme on sait que

A^{-1} Y = X

on en déduit immédiatement, par identification, que :

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

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