Inverse d’une matrice par inversion d’un système linéaire - Exercice 2

On note par $$X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})$$ et on désigne par $$Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})$$.
On pose $$Y = AX$$ ce qui implique que $$A^{-1} Y = X$$. Donc :
$$Y = AX \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_1 \end{pmatrix}$$
Donc :
$$\begin{pmatrix} y_4 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 0y_1 + 0y_2 + 0y_3 + 1y_4 \\ 1y_1 + 0y_2 + 0y_3 + 0y_4 \\ 0y_1 + 1y_2 + 0y_3 + 0y_4 \\ 0y_1 + 0y_2 + 1y_3 + 0y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix}$$
Comme on sait que $$A^{-1} Y = X$$ on en déduit immédiatement, par identification, que :