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Calcul matriciel

Calculer le rang d'une matrice - Exercice 2

10 min
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Question 1

On note par AA la matrice suivante : A=(0−1010−1011)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. Déterminer le rang de la matrice AA.

Correction
  • Le rang d’une matrice AA est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée en lignes. On le note rg(A)\text{rg}\left(A\right) .
Soit ∈Mnp(K)\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right). La matrice AA est échelonnée (en lignes) si :
  • chaque ligne non nulle de AA commence avec strictement plus de 00 que la ligne précédente
  • en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
On a :
A=(0−1010−1011)L1L2L3A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
On va permuter la première ligne avec la deuxième ligne. Ainsi on obtient :
(10−10−10011)L1⟷L2L2⟷L1L3\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1\longleftrightarrow L_2 \\ L_2\longleftrightarrow L_1 \\ L_3 \end{array}
On va maintenant remplacer la troisième ligne par la somme de la deuxième ligne avec la troisième ligne. On trouve donc que :
(10−10−10001)L1L2L3←L2+L3\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\leftarrow L_2+L_3 \end{array}
Ceci est une réduite de GaussGauss de la matrice AA. On constate qu'il y a trois lignes non entièrement nulles.
En conséquence, on peut conclure que :
rang(A)=3\mathrm{rang}(A) = 3

Question 2

On note par AA la matrice suivante : A=(0100001000011000)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Déterminer le rang de la matrice AA.

Correction
  • Le rang d’une matrice AA est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée en lignes. On le note rg(A)\text{rg}\left(A\right) .
Soit ∈Mnp(K)\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right). La matrice AA est échelonnée (en lignes) si :
  • chaque ligne non nulle de AA commence avec strictement plus de 00 que la ligne précédente
  • en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
On a :
A=(0100001000011000)L1L2L3L4A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \\L_4\end{array}
On va mettre la quatrième ligne de la matrice AA en première place. Les autres lignes se décalent alors d'une place vers le bas. On a alors :
(1000010000100001)L1⟷L4L2⟷L3L3⟷L4L4⟷L1\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1\longleftrightarrow L_4\\ L_2\longleftrightarrow L_3 \\ L_3\longleftrightarrow L_4 \\L_4\longleftrightarrow L_1\end{array}
On obtient alors la matrice I4I_4. Donc il y a quatre lignes non entièrement nulle. De fait, on obtient finalement le résultat suivant :
rang(A)=4\mathrm{rang}(A) = 4