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Calcul matriciel

Calculer le rang d'une matrice - Exercice 1

10 min
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Calculer le rang des matrices suivantes
Question 1

A=(12−13)A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)

Correction
  • Le rang d’une matrice AA est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée en lignes. On le note rg(A)\text{rg}\left(A\right) .
Soit ∈Mnp(K)\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right). La matrice AA est échelonnée (en lignes) si :
  • chaque ligne non nulle de AA commence avec strictement plus de 00 que la ligne précédente;
  • en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
A=(12−13)L1L2A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \end{array}
A=(1205)L1L2←L2+L1A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} \\ {0} & {5} \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\leftarrow L_2+L_1 \end{array}
Il en résulte donc que
rg(A)=2\text{rg}\left(A\right)=2
Le rang d’une matrice reste identique lorsque :
  • l'on change l’ordre des lignes;
  • l'on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non nul ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à une ligne une combinaison linéaire des autres ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à la matrice une nouvelle ligne qui est combinaison linéaire des autres.
Question 2

A=(1224)A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} \\ {2} & {4} \end{array}\right)

Correction
  • Le rang d’une matrice AA est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée en lignes. On le note rg(A)\text{rg}\left(A\right).
Soit ∈Mnp(K)\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right). La matrice AA est échelonnée (en lignes) si :
  • chaque ligne non nulle de AA commence avec strictement plus de 00 que la ligne précédente;
  • en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
A=(1224)L1L2A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} \\ {2} & {4} \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \end{array}
A=(1200)L1L2←L2−2L1A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} \\ {0} & {0} \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\leftarrow L_2-2L_1 \end{array}
Il en résulte donc que
rg(A)=1\text{rg}\left(A\right)=1
Le rang d’une matrice reste identique lorsque :
  • l'on change l’ordre des lignes;
  • l'on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non nul ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à une ligne une combinaison linéaire des autres ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à la matrice une nouvelle ligne qui est combinaison linéaire des autres.
Question 3

A=(240−226022)A=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {0} \\ {-2} & {2} & {6} \\ {0} & {2} & {2} \end{array}\right)

Correction
  • Le rang d’une matrice AA est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée en lignes. On le note rg(A)\text{rg}\left(A\right).
Soit ∈Mnp(K)\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right). La matrice AA est échelonnée (en lignes) si :
  • chaque ligne non nulle de AA commence avec strictement plus de 00 que la ligne précédente;
  • en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
A=(240−226022)L1L2L3A=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {0} \\ {-2} & {2} & {6} \\ {0} & {2} & {2} \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
A=(240066022)L1L2←L2+L1L3A=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {0} \\ {0} & {6} & {6} \\ {0} & {2} & {2} \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\leftarrow L_2+L_1 \\ L_3 \end{array}
A=(240066000)L1L2L3←L3−3L2A=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {0} \\ {0} & {6} & {6} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\leftarrow L_3-3L_2 \end{array}
Il en résulte donc que
rg(A)=2\text{rg}\left(A\right)=2
Le rang d’une matrice reste identique lorsque :
  • l'on change l’ordre des lignes;
  • l'on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non nul ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à une ligne une combinaison linéaire des autres ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à la matrice une nouvelle ligne qui est combinaison linéaire des autres.
Question 4

A=(21−2−163)A=\left( \begin{array}{cc}2 & 1 \\ -2 & -1 \\ 6 & 3 \end{array}\right)

Correction
  • Le rang d’une matrice AA est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée en lignes. On le note rg(A)\text{rg}\left(A\right) .
Soit ∈Mnp(K)\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right). La matrice AA est échelonnée (en lignes) si :
  • chaque ligne non nulle de AA commence avec strictement plus de 00 que la ligne précédente;
  • en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
A=(21−2−163)L1L2L3A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -2 & -1 \\ 6 & 3 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
A=(210000)L1L2←L2+L1L2←L3−3L1A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\leftarrow L_2+L_1 \\ L_2\leftarrow L_3-3L_1 \end{array}
Il en résulte donc que
rg(A)=1\text{rg}\left(A\right)=1
Le rang d’une matrice reste identique lorsque :
  • l'on change l’ordre des lignes;
  • l'on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non nul ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à une ligne une combinaison linéaires des autres ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à la matrice une nouvelle ligne qui est combinaison linéaire des autres.
Question 5

A=(224−4−42−1−26)A=\left( \begin{array}{ccc}2 & 2 & 4 \\ -4 & -4 & 2 \\ -1 & -2 & 6 \end{array}\right)

Correction
  • Le rang d’une matrice AA est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée en lignes. On le note rg(A)\text{rg}\left(A\right) .
Soit ∈Mnp(K)\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right). La matrice AA est échelonnée (en lignes) si :
  • chaque ligne non nulle de AA commence avec strictement plus de 00 que la ligne précédente
  • en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
A=(224−4−42−2−26)L1L2L3A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 4 \\ -4 & -4 & 2 \\ -2 & -2 & 6 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
A=(2240010000)L1L2←L2+2L1L3←L3−L1−L2A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\leftarrow L_2+2L_1 \\ L_3\leftarrow L_3-L_1-L_2 \end{array}
Il en résulte donc que
rg(A)=2\text{rg}\left(A\right)=2
Le rang d’une matrice reste identique lorsque :
  • l'on change l’ordre des lignes;
  • l'on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non nul ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à une ligne une combinaison linéaire des autres ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à la matrice une nouvelle ligne qui est combinaison linéaire des autres.
Question 6

A=(1−120211312−13)A=\left( \begin{array}{ccc}1 & -1 & 2& 0 \\ 2 & 1 & 1 &3 \\ 1 & 2 & -1&3 \end{array}\right)

Correction
  • Le rang d’une matrice AA est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée en lignes. On le note rg(A)\text{rg}\left(A\right) .
Soit ∈Mnp(K)\in \mathscr{M}_{np} \left(K\right). La matrice AA est échelonnée (en lignes) si :
  • chaque ligne non nulle de AA commence avec strictement plus de 00 que la ligne précédente
  • en-dessous d'une ligne nulle, on ne peut trouver qu'une ligne nulle.
A=(1−120211312−13)L1L2L3A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2& 0 \\ 2 & 1 & 1 &3 \\ 1 & 2 & -1&3 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
A=(1−12003−3303−33)L1L2←L2−2L1L3←L3−L1A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2& 0 \\ 0 & 3 & -3 &3 \\ 0 & 3 & -3&3 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\leftarrow L_2-2L_1 \\ L_3\leftarrow L_3-L_1 \end{array}
A=(1−12003−330000)L1L2L3←L3−L2A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2& 0 \\ 0 & 3 & -3 &3 \\ 0 & 0 & 0&0 \end{array}\right) \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\leftarrow L_3-L_2 \end{array}
Il en résulte donc que
rg(A)=2\text{rg}\left(A\right)=2
Le rang d’une matrice reste identique lorsque :
  • l'on change l’ordre des lignes;
  • l'on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non nul ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à une ligne une combinaison linéaire des autres ;
  • l'on ajoute (ou retranche) à la matrice une nouvelle ligne qui est combinaison linéaire des autres.