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Savoir démontrer qu'une fonction est impaire - Exercice 4

5 min
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Question 1

Soit ff définie sur [−2;2]\left[-2;2\right] par f(x)=x2−xf\left(x\right)=x^{2}-x. La fonction ff est-elle impaire?

Correction

Soit ff est une fonction définie sur un intervalle II . On dit que la fonction ff est impaire si les deux conditions ci-dessous sont vérifiées :
  • 11ère condition : pour tout réel xx appartenant à II, le réel −x-x appartient à II .
  • 22ème condition : pour tout réel xx appartenant à II, f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
L'intervalle [−2;2]\left[-2;2\right] est un intervalle qui est symétrique par rapport à 00 .
Donc pour tout réel xx appartenant à [−2;2]\left[-2;2\right] son opposé −x-x appartient également à l'intervalle [−2;2]\left[-2;2\right] . La 11ère condition est vérifiée.
Pour tout réel xx appartenant à [−2;2]\left[-2;2\right], on a :
f(−x)=(−x)2−(−x)f\left(-x\right)=(-x)^{2}-(-x)
f(−x)=(−x)×(−x)+xf\left(-x\right)=\left(-x\right)\times\left(-x\right)+x
f(−x)=x2+xf\left(-x\right)=x^{2}+x
Soit :
f(−x)≠−f(x)f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right)

Donc ff n'est pas une fonction impaire.
  • La courbe représentant une fonction impaire admet l'origine du repère comme centre de symétrie.
    • Ici on constate bien à l'aide de la figure ci-dessous, que la courbe n'est pas symétrique par rapport à l'orgine du repère.