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Savoir démontrer qu'une fonction est impaire - Exercice 3

8 min
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Question 1

Soit ff définie sur [−2;2]\left[-2;2\right] par f(x)=−3x3+5xx2+1f(x)=\frac{-3x^3+5x}{x^2+1}. La fonction ff est-elle impaire?

Correction

Soit ff est une fonction définie sur un intervalle II . On dit que la fonction ff est impaire si les deux conditions ci-dessous sont vérifiées :
  • 11ère condition : pour tout réel xx appartenant à II, le réel −x-x appartient à II .
  • 22ème condition : pour tout réel xx appartenant à II, f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
L'intervalle [−2;2]\left[-2;2\right] est un intervalle qui est symétrique par rapport à 00 .
Donc pour tout réel xx appartenant à [−2;2]\left[-2;2\right] son opposé −x-x appartient également à l'intervalle [−2;2]\left[-2;2\right] . La 11ère condition est vérifiée.
Pour tout réel xx appartenant à [−2;2]\left[-2;2\right], on a :
f(−x)=−3×(−x)3+5×(−x)(−x)2+1f(-x)=\frac{-3\times(-x)^3+5\times{(-x)}}{(-x)^2+1}
f(−x)=−3×(−x)2×(−x)+5×(−x)(−x)×(−x)+1f(-x)=\frac{-3\times(-x)^2\times{(-x)}+5\times{(-x)}}{(-x)\times{(-x)}+1}
f(−x)=−3x2×(−x)−5xx2+1f(-x)=\frac{-3x^2\times{(-x)}-5x}{x^2+1}
f(−x)=3x3−5xx2+1f(-x)=\frac{3x^3-5x}{x^2+1}
f(−x)=−1×(−3x3)+−1×5xx2+1f(-x)=\frac{{\color{red}-1}\times(-3x^3)+{\color{red}-1}\times5x}{x^2+1}
f(−x)=−1×−3x3+5xx2+1f(-x)=-1\times\frac{-3x^3+5x}{x^2+1}      \;\;\;Ici on factorise par −1-1.
Soit :
f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

Donc ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentant une fonction impaire admet l'origine du repère comme centre de symétrie.